Моя любимая задача (петербургские олимпиады 92.98): Можно ли в клетках таблицы 11 х 11 так расставить буквы П, А, С, чтобы в верхней строчке таблицы было написано: "ПАПАСПАСПСА", ни одна из остальных клеток, прилегающих к границе, не содержала бы букву С и чтобы ни в одной фигурке вида
_ _
|_|_|
|_|
или
_
|_|_
|_|_|
не было трех различных букв?
_ _
|_|_|
|_|
или
_
|_|_
|_|_|
не было трех различных букв?
🔥10
и ещё одна: М1397 (Квант). По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муравей (таким образом, муравьев столько же, сколько граней), и все они движутся, обходя свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1 мм/ч. Докажите, что рано или поздно какие-то два муравья столкнутся.
🔥11❤🔥6
Из книжки Вавилова "Не совсем наивная теория множеств". Кто такой Данжу?
UPD: это для: Прямая (и конечная) дорожка в парке полностью освещена несколькими фонарями, каждый из которых освещает некоторый отрезок этой дорожки.
Докажите, что можно выключить некоторые фонари так, чтобы дорожка по-прежнему была освещена полностью, но ни один её участок не освещался одновременно тремя фонарями.
UPD: это для: Прямая (и конечная) дорожка в парке полностью освещена несколькими фонарями, каждый из которых освещает некоторый отрезок этой дорожки.
Докажите, что можно выключить некоторые фонари так, чтобы дорожка по-прежнему была освещена полностью, но ни один её участок не освещался одновременно тремя фонарями.
❤3
Пример, как можно доебаться до мышей (в хорошем смысле): спрашивает студентка, в каком смысле это определение, что значит? (причина: чуть выше мы определили функцию как подмножество прямого произведения, через график).
Я не сразу понимаю в чем вопрос, а когда понимаю, не знаю, как ответить.
Такое определение мы дали, чтобы далее определить произведение любого (например, счётного) семейства множеств.
Но что имеется в виду? слева — множество упорядоченных пар, справа — то ли функции, то ли, согласно дискуссии до этого, какие-то подмножества какого-то произведения.
Ну ок, есть биекция между левой и правой частью. Видимо, лектор имеет в виду, что это очень хорошая биекция? Ну а функции мы же определяли через произведение, а теперь наоборот, типа закольцованное определение, так же нельзя говорят....
Вот такая вотвечная молодость наивная теория множеств.
А, скажем, разные определения упорядоченной пары, они ведь тоже эквивалентны в каком-то неочевидном смысле (какое-нибудь естественное преобразование?)
Я не сразу понимаю в чем вопрос, а когда понимаю, не знаю, как ответить.
Такое определение мы дали, чтобы далее определить произведение любого (например, счётного) семейства множеств.
Но что имеется в виду? слева — множество упорядоченных пар, справа — то ли функции, то ли, согласно дискуссии до этого, какие-то подмножества какого-то произведения.
Ну ок, есть биекция между левой и правой частью. Видимо, лектор имеет в виду, что это очень хорошая биекция? Ну а функции мы же определяли через произведение, а теперь наоборот, типа закольцованное определение, так же нельзя говорят....
Вот такая вот
А, скажем, разные определения упорядоченной пары, они ведь тоже эквивалентны в каком-то неочевидном смысле (какое-нибудь естественное преобразование?)
👍8🤯2🙉2❤1
Пуанкаре:
«Le savant n’est pas celui qui sait le plus de faits, mais celui qui sait en utiliser.» Henri Poincaré, Science et Méthode, Flammarion, 1908, Première Partie: «La Pensée et la Science», Chapitre I.
«Учёный — не тот, кто знает больше всего фактов, а тот, кто умеет ими пользоваться.»
«Ce qui distingue le vrai savant, c’est la faculté de choisir, entre toutes les combinaisons possibles, celles qui sont réellement fécondes.» Henri Poincaré, La Valeur de la Science, Flammarion, 1905, Deuxième Partie: «Le Raisonnement Mathématique».
«То, что отличает настоящего учёного, — это способность выбирать среди всех возможных сочетаний те, которые действительно плодотворны.»
«Le savant n’est pas celui qui sait le plus de faits, mais celui qui sait en utiliser.» Henri Poincaré, Science et Méthode, Flammarion, 1908, Première Partie: «La Pensée et la Science», Chapitre I.
«Учёный — не тот, кто знает больше всего фактов, а тот, кто умеет ими пользоваться.»
«Ce qui distingue le vrai savant, c’est la faculté de choisir, entre toutes les combinaisons possibles, celles qui sont réellement fécondes.» Henri Poincaré, La Valeur de la Science, Flammarion, 1905, Deuxième Partie: «Le Raisonnement Mathématique».
«То, что отличает настоящего учёного, — это способность выбирать среди всех возможных сочетаний те, которые действительно плодотворны.»
❤33💯2❤🔥1👎1
у Тао так написано:
One can roughly divide mathematical education into three stages:
The “pre-rigorous” stage, in which mathematics is taught in an informal, intuitive manner, based on examples, fuzzy notions, and hand-waving. (For instance, calculus is usually first introduced in terms of slopes, areas, rates of change, and so forth.) The emphasis is more on computation than on theory. This stage generally lasts until the early undergraduate years.
The “rigorous” stage, in which one is now taught that in order to do maths “properly”, one needs to work and think in a much more precise and formal manner (e.g. re-doing calculus by using epsilons and deltas all over the place). The emphasis is now primarily on theory; and one is expected to be able to comfortably manipulate abstract mathematical objects without focusing too much on what such objects actually “mean”. This stage usually occupies the later undergraduate and early graduate years.
The “post-rigorous” stage, [...]
Тащемта я живу в другой парадиге, размахивания руками я не понимал вообще, и манипулировать объектами без понимания смысла тоже не мог (поэтому в школе и позже теория чисел/алгебра были самыми сложными, там за формулами может ничего не стоять, кроме формул и других определений). Не совсем правда, что размахивания руками я не понимал (топология, геометрия — рисуешь картинки, за ними может скрываться много hard анализа).
Но как _учить_ в парадигме pre-rigorous и rigorous — я не знаю, всегда считал, что возможно только post-rigorous, а остальное — профанация. Но кто я такой, чтобы спорить с Тао и всей американской/европейской системой образования. Объяснение у меня такое: "у них" не пытаются научить всех, и вот это pre-rigorous и rigorous — служит как фильтр, отобранным после него можно что-то и объяснить. Почему не объяснить раньше? Потому что требуется некоторая зрелость мышления — и таких студентов мало (и они только в топовых местах).
Но, скажем, если мне надо учить в pre-rigorous и rigorous стиле — мне очень плохо, я так не могу, и делаю что-то другое (из-за чего вовсе не обязательно будет всем лучше — хотя, возможно, будет лучше людям моего типа, окажись они у меня в студентах, то есть вероятно никому). интересная тема для рефлекcии.
One can roughly divide mathematical education into three stages:
The “pre-rigorous” stage, in which mathematics is taught in an informal, intuitive manner, based on examples, fuzzy notions, and hand-waving. (For instance, calculus is usually first introduced in terms of slopes, areas, rates of change, and so forth.) The emphasis is more on computation than on theory. This stage generally lasts until the early undergraduate years.
The “rigorous” stage, in which one is now taught that in order to do maths “properly”, one needs to work and think in a much more precise and formal manner (e.g. re-doing calculus by using epsilons and deltas all over the place). The emphasis is now primarily on theory; and one is expected to be able to comfortably manipulate abstract mathematical objects without focusing too much on what such objects actually “mean”. This stage usually occupies the later undergraduate and early graduate years.
The “post-rigorous” stage, [...]
Тащемта я живу в другой парадиге, размахивания руками я не понимал вообще, и манипулировать объектами без понимания смысла тоже не мог (поэтому в школе и позже теория чисел/алгебра были самыми сложными, там за формулами может ничего не стоять, кроме формул и других определений). Не совсем правда, что размахивания руками я не понимал (топология, геометрия — рисуешь картинки, за ними может скрываться много hard анализа).
Но как _учить_ в парадигме pre-rigorous и rigorous — я не знаю, всегда считал, что возможно только post-rigorous, а остальное — профанация. Но кто я такой, чтобы спорить с Тао и всей американской/европейской системой образования. Объяснение у меня такое: "у них" не пытаются научить всех, и вот это pre-rigorous и rigorous — служит как фильтр, отобранным после него можно что-то и объяснить. Почему не объяснить раньше? Потому что требуется некоторая зрелость мышления — и таких студентов мало (и они только в топовых местах).
Но, скажем, если мне надо учить в pre-rigorous и rigorous стиле — мне очень плохо, я так не могу, и делаю что-то другое (из-за чего вовсе не обязательно будет всем лучше — хотя, возможно, будет лучше людям моего типа, окажись они у меня в студентах, то есть вероятно никому). интересная тема для рефлекcии.
❤20💯5👍3👎1