Доказательство теоремы о голономии (две штуки — геометрическое и через связь с комплексным анализом, как я выше указал) в приложенной статье.

А вот такой вопрос: сколькими способами можно склеить двумерную сферу из треугольников? Подводит к следующей прекрасной статьей Тёрстона. Я не могу сказать, что многое в ней понимаю, иногда возвращаюсь, перечитываю, и понимаю больше.

Внутри: необычайные структуры на пространстве триангуляций, действие групп, решётки, гиперболические объёмы. Страшно подумать, что может найтись в аналогичной задаче для других поверхностей!

Вдруг кто меня в жизни не видел, вот он я, объясняю работу метода mapper. На стеклянной доске. Очень неудобная штука, оказывается. Если надо нарисовать ОДНУ картинку и пафосно вещать для красивых видео и фото — норм. А вот если надо много текста писать и быстро (как на меловой доске) — то дико неудобно, и очень долго стирать. Это ведь из маркеров выдавливается краска на стекло. И по мере высыхания стирается хуже и хуже.

а вот как работает этот метод mapper. По ссылке сайт с пакетом на питоне, и в три клика и 5 строчек кода (в комментариях) можно такие картинки рисовать. Это я для популярной статьи для школьников о топологических методах в анализе данных. (замануха наивных душ в топологию)

Наши студенты сами для себя завели онлайно-оффлайн семинар по узлам, косам и прочей маломерной топологии. Смотрите, какие красивые картинки (пост выше)!

А вот по ссылке можно к этой группе присоединиться.

UPD: 16 июня 2021 конференция в честь Азата (с суперзвёздными докладчиками — Cédric Villani, Maryna Viazovska, Alexander Bufetov,Peter Scholze)

20 Dec 2020: Если вдруг не знаете про математика Азата Мифтахова — почитайте, и, при настроении, подпишите. В разных анархических акциях он участвовал, но окно в офисе ЕР, судя по всему, не разбивал, и, мне кажется, это такая "месть" силовиков за другие дела против Азата, где доказать ничего не получилось.

Кто не знает, есть целое СМИ с такого рода делами. Бороться и с хулиганами, и с экстремистами нужно (и это сложная работа), но не провокациями, лжесвидетелями и пытками.

Сбор подписей, в общем, не очень влияет на дела (кажется), но способствует распространению информации (а это уже чуть-чуть влияет) — если вместе с рассказом просить сделать что-то несложное (поставить подпись), то это запоминается лучше, и у поставивших подпись больше мотивации дальше распространять.

Лекция Залгаллера (1999 года, он в 2020 умер, немного не дожив до 100 лет): 1 часть — некоторые результаты из геометрии, 2 часть — воспоминания о Александрове (сколько разной математики он придумал), 3 часть — воспоминания о матмехе.

Залгаллер учился на матмехе, потом в 1941 после 3го курса в самолётном училище, и воевал до 1945, потом пришёл обратно на матмех, и хотел дальше учиться, а декан считал, что нужно дать ему диплом и корил за своевольство. Реакция Залгаллера :
“с полным афганским синдромом, с орденами, с таким примерно мировосприятием... смотрел на учёный совет с таким настроением — если я от живота бью из автомата — кто из них как себя поведёт… всё-таки приходилось отбиваться от немцев, которые бросают в тебя ручные гранаты…” — но через 2 месяца на матмехе это прошло.

(см. МатПрос но ссылка там теперь не работает) "Мне надо было вернуться мыслью в математику. И я ходил, слушал спецкурс у Маркова, ходил на семинар Александрова, где стал старостой семинара, и решал подряд все задачи из книги Натансона "Теория функций вещественной переменной". Вот чем я занимался, когда вернулся с фронта. И я предложил свои услуги Дворцу пионеров и вёл там два кружка."


Залгаллер учился в одном из первых кружков (1934 год), а потом в 1946 вёл кружки по математике уже сам. Ещё цитаты:

“сильными были те курсы, где студенты между собой много обсуждали математику…” — и это утратилось с переездом матмеха в Петергоф.

“Периодически математика должна обновляться” “читать надо много но выносить 40 процентов на экзамен.”
“Смирнов читал в два голоса…” “Представьте что Рохлина бы не преследовали, Громов бы остался на факультете, Элиашберг, Харламов…”

И вторая часть, про достижения Александрова в математике — очень интересно, но сложно пересказать, смотрите сами.

А вот воспоминания Залгаллера (запись в Реховоте в 2009 году), много про создание ЛОМИ и людей (Маркова и тд).

Протистологическая елка из канала биологов ЦИНа. И вас с праздниками. Бывают ли математические и программерские елки?

Σας έυχομαι καλά Χριστούγεννα! С Рождеством Христовым!

Теорема Гаусса-Бонне говорит, что интеграл от кривизны поверхности (кривизна в точке выражает насколько длина окружности радиуса r с центром в данной точки отличается от 2πr) равен её эйлеровой характеристике. Удивительный результат — интеграл от "локальной" искривлённости (геометрическое понятие) оказывается равен чисто топологической характеристике — для сферы 2, для тора 0, то есть никак не зависит от расстояний на поверхности! Легко проверить эту теорему для многогранников — у которых кривизна не ноль только в вершинах.

Лекция Дынникова (для студентов). А вот тут изложение с интуитивными объяснениями (и сначала примерами из сферической геометрии).

У формулы множество обобщений, например, Siegel изучал симплектические матрицы с точки зрения обобщения двумерных фактов. SL(2,R) действует на верхней полуплоскости, а ещё можно посчитать кообъём её по подгруппе SL(2,Z) (типа как фактор по решётке). Получится ζ-функция! а симплектические матрицы похожим образом действуют на полупространстве Зигеля. И кообъём равен уже произведению дзет от натуральных чисел.

Вычисление кообъёма (с помощью суммирования по Пуассону) можно прочитать тут. Зигелю это было интересно с точки зрения геометрии чисел, конечно — где дзета-функция, там теория чисел (см. скриншот). Статья называется Symplectic geometry, такая вот в 1943 году была симплектическая геометрия, однако. И вам желаю в праздники находить связи между теорией чисел и эйлеровой характеристикой.

Ещё мне очень нравится слово coördinates в тексте, веет граммофонами и письмами на жёлтой бумаге.

Отличная статья Сонина про аукционы и за что давали Нобелевские премии по экономике за них. Лучший текст для неспециалистов, что я видел.

"Теория аукционов является ядром современной экономической теории, а стандартные аукционы — базовыми элементами множества моделей в микро-экономике, экономике общественного сектора и финансах. Теоретические исследования аукционов сформировали современное понимание экономической роли информации в работе конкурентного рынка и формировании рыночной цены. Прикладной анализ аукционов лег в основу важных прак­ тических механизмов — например, механизмов приватизации и ре­приватиза­ции радиоспектра и государственных закупок. Нобелевская премия 2020 г., присужденная Роберту Уилсону и Полу Милгрому — это премия одновременно за вклад в создание основ теории аукционов и за разработку масштабных практических приложений"

Отличная зимняя онлайн-школа СПбГУ и ВШЭ. 29 января - 03 февраля 2021 года. Это для потенциальных магистров-математиков, которые думают, куда идти в магистратуру. На картинке название одной из лекций (с незаметной опечаткой).

Где и кому учиться на математика? (краткое сравнение СПбГУ, ВШЭ, МФТИ, МГУ)

МГУ ориентируется на среднего школьника. См. вступительный экзамен. Если вы олимпиадник или учились в кружках, то будет скучновато. В МГУ большинство кафедр — так себе. Есть хорошие — топологии и алгебры. Курсы по выбору зависят от кафедры, поэтому ОЧЕНЬ важно пойти на правильную кафедру.

МФТИ — математика не очень разнообразна (только базовая), но если твёрдо хотите заниматься только дискретной математикой, и не знать никакой другой, то нормально, есть лаборатория и кафедра и ещё одна.

матфак ВШЭ — хорошо, но не разнообразно — спецкурсы в основном по алгебраической геометрии и топологии, если хотите только их в большом объёме — туда. Клиенты — выпускники мат. школ.

МКН СПбГУ — курсы по выбору разнообразней, есть теор.информатика, разный красивый анализ, и всё остальное тоже. Ориентируется на олимпиадников или выпускников мат.школ кто готов много пахать, базовая программа сложнее, чем в других местах.

— математиками становятся после этих мест и после многих других (НГУ, физическое образование и тд)

— кажется, важнее всего найти научного руководителя, а это проще там, где их много тусуется. Но не обязательно.

— никаких рецептов и советов, как стать математиком, видимо, нет. В следующей серии — о том, почему олимпиадникам трудно стать учеными и что с этим делать.

в Сириусе меня спросили, что делать, если ботал олимпиады, но на междунар не прошёл, как узнать о математике больше. Ответ — список книг. Рекомендуется посмотреть все, но читать выборочно — то, что по душе (и не обязательно сначала, книги лучше сначала листать, потом читать куски, потом читать с начала).

А. Я. Хинчин. Три жемчужины теории чисел (у теоремы ВдВ там сложное доказательство, более простое см. в статье Бугаенко
https://mccme.ru/free-books/dubna/bugaenko.pdf)

В. И. Арнольд. Цепные дроби.

Дж. Конвей. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях.

Н. Алон, Дж. Спенсер. Вероятностный метод.

В. Б. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях.

Дж. И. Литлвуд. Математическая смесь.

М. Айгнер, Г. Циглер. Доказательства из Книги.

С. Л. Табачников, Д. Б. Фукс. Математический дивертисмент.

А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка.

Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники.

И. Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры.

В. В. Прасолов. Многочлены.

В.Г. Болтянский. Наглядная топология.

Г Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры.

Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?

Почему олимпиадникам трудно стать учёными?

✅ Достоинства олимпиадников.
❌ Недостатки являются логичным продолжением достоинств.
⚠️ Советы — как работать над преодолением недостатков.

✅ умение выкладываться за 4 часа ❌ неумение долго монотонно работать ⚠️ приучиться регулярно возвращаться к непонятому/несделанному, понимать до мельчайших деталей, пусть и в несколько заходов

✅ знание части математики (дискретная математика) ❌ нежелание или боязнь осваивать другую, более абстрактную математику⚠️ обязательно пробовать разные области математики, ходить на спецкурсы/семинары из разных областей, пробовать читать хорошие книги из нелюбимых областей математики

✅ пробивная сила в решении задач ❌ отсутствие привычки понимать связи и многоуровневые абстракции ⚠️ рисовать схемы главных утверждений курса, связи, основные идеи, думать над связями между разными областями математики

✅ привычка к конкуренции ❌ боязнь быть не самым лучшим и дискомфорт от этого ⚠️ завести друзей с которыми вместе обсуждать математику, решать вместе задачи, искать ``свою'' область математики

В целом, олимпиадников надо учить по-другому: раз они концентрируются на задачах, значит с самого начала даже на простых курсах должно быть много сложных задач (и сложные курсы должны быть сразу тоже), как у нас например. Если к курсу или в книге нет задач — самостоятельно их придумывайте и решайте при чтении.

И, конечно, процент учёных среди олимпиадников выше чем в среднем по популяции (у нас на МКН 14 преподавателей из примерно 80 — победители междунара по математике, причём специализация самая разнообразная, 16 студентов междунарников на всех курсах (из примерно 200), и занимаются они тоже довольно разными вещами).

Просто не надо думать, что у школьников-олимпиадников уже есть все необходимые скилы, чтобы стать учёными — нет, у них просто небольшой бафф на старте, который может привести к негармоничной раскачке=)

Нам пишут (тоже учёные межнарники):

Минус олимпиад — задача поставлена. И известно, что она решаема. Отсюда дефицит субъектности и ответственности у олимпиадника, всё за него выбрано.