Доказательство теоремы о голономии (две штуки — геометрическое и через связь с комплексным анализом, как я выше указал) в приложенной статье.

А вот такой вопрос: сколькими способами можно склеить двумерную сферу из треугольников? Подводит к следующей прекрасной статьей Тёрстона. Я не могу сказать, что многое в ней понимаю, иногда возвращаюсь, перечитываю, и понимаю больше.

Внутри: необычайные структуры на пространстве триангуляций, действие групп, решётки, гиперболические объёмы. Страшно подумать, что может найтись в аналогичной задаче для других поверхностей!

Вдруг кто меня в жизни не видел, вот он я, объясняю работу метода mapper. На стеклянной доске. Очень неудобная штука, оказывается. Если надо нарисовать ОДНУ картинку и пафосно вещать для красивых видео и фото — норм. А вот если надо много текста писать и быстро (как на меловой доске) — то дико неудобно, и очень долго стирать. Это ведь из маркеров выдавливается краска на стекло. И по мере высыхания стирается хуже и хуже.

Наши студенты сами для себя завели онлайно-оффлайн семинар по узлам, косам и прочей маломерной топологии. Смотрите, какие красивые картинки (пост выше)!

А вот по ссылке можно к этой группе присоединиться.

Протистологическая елка из канала биологов ЦИНа. И вас с праздниками. Бывают ли математические и программерские елки?

Σας έυχομαι καλά Χριστούγεννα! С Рождеством Христовым!

Теорема Гаусса-Бонне говорит, что интеграл от кривизны поверхности (кривизна в точке выражает насколько длина окружности радиуса r с центром в данной точки отличается от 2πr) равен её эйлеровой характеристике. Удивительный результат — интеграл от "локальной" искривлённости (геометрическое понятие) оказывается равен чисто топологической характеристике — для сферы 2, для тора 0, то есть никак не зависит от расстояний на поверхности! Легко проверить эту теорему для многогранников — у которых кривизна не ноль только в вершинах.

Лекция Дынникова (для студентов). А вот тут изложение с интуитивными объяснениями (и сначала примерами из сферической геометрии).

У формулы множество обобщений, например, Siegel изучал симплектические матрицы с точки зрения обобщения двумерных фактов. SL(2,R) действует на верхней полуплоскости, а ещё можно посчитать кообъём её по подгруппе SL(2,Z) (типа как фактор по решётке). Получится ζ-функция! а симплектические матрицы похожим образом действуют на полупространстве Зигеля. И кообъём равен уже произведению дзет от натуральных чисел.

Вычисление кообъёма (с помощью суммирования по Пуассону) можно прочитать тут. Зигелю это было интересно с точки зрения геометрии чисел, конечно — где дзета-функция, там теория чисел (см. скриншот). Статья называется Symplectic geometry, такая вот в 1943 году была симплектическая геометрия, однако. И вам желаю в праздники находить связи между теорией чисел и эйлеровой характеристикой.

Ещё мне очень нравится слово coördinates в тексте, веет граммофонами и письмами на жёлтой бумаге.

Отличная статья Сонина про аукционы и за что давали Нобелевские премии по экономике за них. Лучший текст для неспециалистов, что я видел.

"Теория аукционов является ядром современной экономической теории, а стандартные аукционы — базовыми элементами множества моделей в микро-экономике, экономике общественного сектора и финансах. Теоретические исследования аукционов сформировали современное понимание экономической роли информации в работе конкурентного рынка и формировании рыночной цены. Прикладной анализ аукционов лег в основу важных прак­ тических механизмов — например, механизмов приватизации и ре­приватиза­ции радиоспектра и государственных закупок. Нобелевская премия 2020 г., присужденная Роберту Уилсону и Полу Милгрому — это премия одновременно за вклад в создание основ теории аукционов и за разработку масштабных практических приложений"

— математиками становятся после этих мест и после многих других (НГУ, физическое образование и тд)

— кажется, важнее всего найти научного руководителя, а это проще там, где их много тусуется. Но не обязательно.

— никаких рецептов и советов, как стать математиком, видимо, нет. В следующей серии — о том, почему олимпиадникам трудно стать учеными и что с этим делать.

в Сириусе меня спросили, что делать, если ботал олимпиады, но на междунар не прошёл, как узнать о математике больше. Ответ — список книг. Рекомендуется посмотреть все, но читать выборочно — то, что по душе (и не обязательно сначала, книги лучше сначала листать, потом читать куски, потом читать с начала).

А. Я. Хинчин. Три жемчужины теории чисел (у теоремы ВдВ там сложное доказательство, более простое см. в статье Бугаенко
https://mccme.ru/free-books/dubna/bugaenko.pdf)

В. И. Арнольд. Цепные дроби.

Дж. Конвей. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях.

Н. Алон, Дж. Спенсер. Вероятностный метод.

В. Б. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях.

Дж. И. Литлвуд. Математическая смесь.

М. Айгнер, Г. Циглер. Доказательства из Книги.

С. Л. Табачников, Д. Б. Фукс. Математический дивертисмент.

А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка.

Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники.

И. Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры.

В. В. Прасолов. Многочлены.

В.Г. Болтянский. Наглядная топология.

Г Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры.

Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?

Почему олимпиадникам трудно стать учёными?

✅ Достоинства олимпиадников.
❌ Недостатки являются логичным продолжением достоинств.
⚠️ Советы — как работать над преодолением недостатков.

✅ умение выкладываться за 4 часа ❌ неумение долго монотонно работать ⚠️ приучиться регулярно возвращаться к непонятому/несделанному, понимать до мельчайших деталей, пусть и в несколько заходов

✅ знание части математики (дискретная математика) ❌ нежелание или боязнь осваивать другую, более абстрактную математику⚠️ обязательно пробовать разные области математики, ходить на спецкурсы/семинары из разных областей, пробовать читать хорошие книги из нелюбимых областей математики

✅ пробивная сила в решении задач ❌ отсутствие привычки понимать связи и многоуровневые абстракции ⚠️ рисовать схемы главных утверждений курса, связи, основные идеи, думать над связями между разными областями математики

✅ привычка к конкуренции ❌ боязнь быть не самым лучшим и дискомфорт от этого ⚠️ завести друзей с которыми вместе обсуждать математику, решать вместе задачи, искать ``свою'' область математики

В целом, олимпиадников надо учить по-другому: раз они концентрируются на задачах, значит с самого начала даже на простых курсах должно быть много сложных задач (и сложные курсы должны быть сразу тоже), как у нас например. Если к курсу или в книге нет задач — самостоятельно их придумывайте и решайте при чтении.

И, конечно, процент учёных среди олимпиадников выше чем в среднем по популяции (у нас на МКН 14 преподавателей из примерно 80 — победители междунара по математике, причём специализация самая разнообразная, 16 студентов междунарников на всех курсах (из примерно 200), и занимаются они тоже довольно разными вещами).

Просто не надо думать, что у школьников-олимпиадников уже есть все необходимые скилы, чтобы стать учёными — нет, у них просто небольшой бафф на старте, который может привести к негармоничной раскачке=)

а вот и слайды из проф.ориентационной лекции про профессию математика (в Сириусе).

"Вероятно, в утраченном начальном фрагменте лекции Рохлин говорил о зловредности общепринятых принципов преподавания математики. К сожалению, сохранилось лишь критика принципа, согласно которому каждое правило надлежит, немедленно после его формулировки, иллюстрировать примерами его использования."

Из самого важного текста о преподавании математики нематематикам. Примеры надо разбирать самому, чтобы ошибиться. А с точки зрения педагогов, ошибаться, видимо, нельзя, надо сразу делать правильно. А это потому, видимо, что классы большие, поэтому обратную связь каждому ученику дать невозможно, только на контрольных. И все другие педагогические принципы могут проистекать из нехватки ресурсов, а не из того, как учить лучше.

И про программы математиков для вузов — так до сих пор (40 лет прошло) это ухудшенные версии программ для математиков. Я написал программу для социологов. Костя — классную программу алгебры для программистов. Неужели такого нельзя сделать для медиков/биологов/юристов/географов, в зависимости от того, какая им математика реально нужна?

ДОКОЛЕ всех будут учить одинаковому матану?

Меня в свое время удивляло, почему олимпиады (по математике) появились в 1934 году (почему не раньше, почему не позже?). А вот почему.

В 20-30ые годы в университеты НЕ брали людей, у кого родители были неправильного класса (богатые и образованные). Поэтому студенты в массе стали слабые.

Чтобы найти сильных студентов, Делоне предложил провести олимпиаду среди выпускников и принять победителей без экзаменов. Потом и кружки появились. А потом кружковцы стали побеждать на олимпиадах. И тогда какое-то время после одной победы было неприлично участвовать ещё раз.

Потом появилась Всесоюзная, Международная олимпиада, и всё превратилось в спорт, оставаясь хорошим социальным лифтом и средством выявления умненьких деток.

Фихтенгольц, чьи учебники матана все знают. В документе эксклюзивные документы из архива Одесской области. Свидетельство о рождении (выданное раввином, естественно) — заодно поправил неправильную дату рождения в Википедии (почему-то было 5 июня). Разрешение на брак от отца (студентам требовалось!). Елена Борисовна слушала его лекции. Говорит, всё просто и понятно было, хорошие лекции.

NB: Он — Григорий Михайлович. А отец его — Абрам-Мойше. Михайлович — русификация, в студенческом деле (1905) написано — (Михайлович) Абрамович. В студбилете — Абрамович-Мойшевич.

Галёркин, Борис Григорьевич (при рождении Берка Гиршевич) 1871-1945.
Уже с 12 лет Борис вынужден был подрабатывать перепиской бумаг в Сиротском суде.

Отец Б.Г. Галёркина был крайних еврейских националистических взглядов. Он запрещал сыну изучать русский язык, и сын это делал тайком от отца, а затем сдал курс гимназии экстерном.

В начале 1906 г. активно участвует в организации российского профсоюза металлистов.

Петербургская судебная палата 13 (26) марта 1907 г. приговорила Б.Г. Галеркина к полутора годам заключения. Этот срок он отбывал в тюрьме «Кресты».
В заключении он написал первую свою научную работу «Теория продольного изгиба и применение её к расчету конструкций» объёмом 130 стр. (опубликовано в 1909 году). Эта работа вошла в ряд классических работ по строительной механике.

В апреле 1936 г. постановлением Совнаркома Борис Григорьевич был назначен председателем комиссии Совета строительства по экспертизе эскизного проекта стального каркаса с конструкциями стен и перекрытий Дворца Советов в Москве, который стал бы в случае постройки самым помпезным зданием на планете, высотой 495 м. со шпилем.

Проект Дворца Советов на месте взорванного в 1931 году храма Христа Спасителя. Галёркин был главным экспертом.

Из речи И.М. Виноградова на открытии Международноий конференции по аналитическим методам теории чисел и анализа, 1981 год:
“В заключение я хочу сказать несколько слов, которые могут быть полезны лицам, желающим посвятить свою жизнь занятию математикой.
Надо пытаться решать важные задачи, не считаясь с их трудностью. Их решения навсегда войдут в историю науки и принесут людям большую пользу. Так поступали наши великие предшественники. Не следует увлекаться решением легких и малонужных задач только потому, что они не требуют больших усилий. Ученые, которые это делают, могут увлечь на тот же неправильный путь и своих учеников. Выбрав достойную тему, следует наметить план работы и не оставлять его, пока теплится хоть малейшая надежда на успех. Важно знать работы классиков – содержащиеся в них идеи могут оказать решающее действие на успех собственный.”