Занимаясь задачей погружения, Дмитрий Константинович столкнулся с формализмом так называемых «систем факторов», все время в этой связи встречающихся, и обнаружил, что он является частным случаем гораздо более общей конструкции. Так была открыта теория когомологий групп.

По воспоминаниям сына Дмитрия Константиновича, когда они находились в эвакуации в городе Казани в 1943 году, в какой-то из вечеров отец ходил по комнате весь возбужденный, и восклицавший, что он открыл нечто замечательное (как оказалось позже – это были коциклы) . Сын спросил его, «А сколько людей в мире поймет то, что ты сейчас сделал» - « Ну человек , может быть пять» ответил отец.

(Д.К. Фаддеев первым из отечественных математиков создал теорию когомологий групп.

Надо в англицкую википедию про Фаддеева дописать, а то там только эти вышеупомянутые пять четыре человека: Eilenberg, Mac Lane, Eckmann, Freudenthal.

смотрите какую грамоту получил в 1934 Марков-мл. за исследования n-мерных векторных пространств и руководство топологическим кружком. Рукописную! А на портретах — Ленин и Сталин, видимо.

Дети, мораль: изучайте n-мерные векторные пространства и создавайте топологические кружки!

 .

 why a sociologist should care about math?

Linear algebra. Imagine a huge network such as facebook. Who are the most influential figures? The first idea might be to look at the number of friends or subscribers: who has more friends is more influential. Unfortunately, this can be easily manipulated by creating a lot of fake accounts-friends. A more robust approach is to say that the influence of a person is proportional to the sum of his friends’ influences. To make this idea precise, we need eigenvectors and eigenvalues, important concepts of linear algebra. Nowadays, looking into networks you can say a lot about migration, education, culture, beliefs, etc. Hence sociologists should learn big data analysis which, in turn, massively uses linear algebra.

Logic, the habit of making statements formal and precise. Studying linear algebra or statistics is very hard without an acquaintance with the mathematical concept of proof. Mathematics is a language, way more formal and precise than any spoken language; it is an advantage to speak and understand it at least on the survival level. Though it is difficult to imagine that sociologists will use induction or will prove any theorem about graphs in their professional life, I am convinced that these topics help a lot in developing skills which are obligatory prerequisites in order to study linear algebra or statistics. In short, I think that omitting these (or functionally similar) topics in the courses of mathematics for non-mathematicians is the reason why those non-mathematicians know mathematics so poorly and suffer on math courses so miserably.

Sociologists are concerned with causal effects. So, if they want not only to run linear regression but also understand what does the result mean, they need to study econometrics. No surprise, this requires a good mastery of analysis, linear algebra, and statistics.

I think that these three reasons (networks, clarifying the language, econometrics) are already enough to convince a freshman that math is worth to study hard and thoroughly.
Last but not least: sociologists compete with economists (who study more math) on the labor market. Knowing math (as well as programming skills) is an advantage. Soft skills are much easy to learn (when you care) than math.

Это меня тут снова спросили про учебник математики для социологов. Вот же он!

Шетарди, французский посол, которого императрица Елизаветра Петровна выслала из России за то, что он в шифрованных посланиях о ней нелестно отзывался, а расшифровал те послания Гольдбах. Перехваченные письма до сих пор у нас нельзя посмотреть (в России), но удалось через французских историков достать какие-то другие шифрованные письма Шетарди. См. картинку. Я немного знаю французский, но этого не хватает, чтобы понять, складывается ли текст в что-то осмысленное (и это уже дешифрованное письмо) или числа шифруют чётные строки письма.
Любители-конспирологи, помогите расшифровать!

Если считать, что это дешифровка, то например, 541 может значить terre (встречается вверху страницы в mediterranee и внизу в Angleterre). 466 — видимо, par.

см. детали в книге.

From Markov moves to Markov traces

In the early 1920’s the American mathematician James W. Alexander (1888–1971) proved in [Alexander, 1923] that any oriented link is equivalent to the closure of some braid. Such a braid is not unique. Indeed, Markov identified three transformations on braids which, after closing, produce equivalent oriented links. These transformations are called Markov moves.

Markov’s theorem resurfaced in the 1980’s with the spectacular discovery of a new link invariant by Vaughan Jones (1952– 2020; Fields medal, 1990). A link invariant is a way to attach to each link a quantity (a number, a polynomial...) which takes equal values for equivalent links. Link invariants enable to distinguish links that are not equivalent. Previously very few link invariants were known. Triggered by Jones’s discovery, Nikolai Yu. Reshetikhin and Vladimir G. Turaev from LOMI (Mathematical Institute of the Leningrad Branch of the Steklov Institute) soon came up with infinitely many new link invariants.

Кантор родился в Петербурге, а вот текст о нём и теории множеств.

...Steadily driven by mathematical problems, first in ongoing analysis and then in his developing context of transfinite cardinals, Cantor struggled in a classical intensional milieu to articulate and secure an expanding conceptual terrain of infinite sets and limits. That Cantor’s conceptualizations and arguments may now be rendered succinctly, as here, is a testament to how his ways of thinking have become common place in modern mathematics.

After completing a Habilitation in number theory, Cantor in 1870 began working in real analysis, specifically on the uniqueness of trigonometric series.
In this, Cantor was soon driven by necessity, to clearly articulate proofs, as the mother of invention. He defined the real numbers—an insurgent move at the time—in terms of Cauchy sequences.

Юбилейная монетка. Менделеева все знают, Смирнова и Фока знают математики. Ухтомского я не знал, а, оказывается, это старообрядческий монах-физиолог, князь и советский академик. Вот как!

Чебышев советовал заниматься нерешёнными задачами, и одну и ту же задачу давал и Ляпунову, и Золотарёву, и Ковалевской. Потому последняя и заинтересовалась кольцами Сатурна (одна из её ранних работ) — как приложение гиперэллиптических интегралов, про которые она много умела, к задаче, которую ей (давно) давал Чебышев.

Чебышев продвигал Ковалевскую в академики в России, но тому мешал Марков-ст. Возможно, не из чистой ненависти к Ковалевской, а потому что Чебышеву хотел палки вставлять в колёса. Всё как всегда.

А Ляпунов решил задачу, превзойдя Пункаре. И ученик его, Стеклов, тоже чем-то похожим занимался. Не так много задач в мире, судя по всему.

Про всех них есть в книге.

пусть жидкость вращается и между частицами действуют силы притяжения (это типа модель планеты). Какую форму она может иметь (т.е. когда решение определённого сложного диффура устойчивое?) Ляпунов так придумал свои теоремы о устойчивости. А на картинке возможные формы планет (отсюда).

Найдите на фото книжку ведущего научного сотрудника САП.

Прекрасное прошлогоднее: самый обычный топологический препринт на arXiv-е: https://arxiv.org/pdf/2003.13758.pdf (картинка — одна страница оттуда).
Rami Luisto, "A non-Euclidean story or: how to persist when your geometry doesn’t."

Статья должна читаться как роман!

Проекция Чебышева (то есть карта, сохраняющая все углы, с минимальным колебанием масштаба) для Советского Союза. Про это тут, но путанно. Лучше вот тут, стр. 252, Это журнал "Геодезист", 1938, вып.10. стр.2 этого документа тоже интересно почитать — там обличаются враги народа в геодезии. "Вражеская работа заключалась в том, чтобы оторвать научно-исследовательскую работу от задач производства...". 1937-38 год, расстрелы врагов во всех отраслях, то-сё. Интересно посмотреть что за наука такая геодезия и проникнуться тем духом и картинками.

А ещё лучше про эту задачу Чебышева — в т.5. полном собрании сочинений Чебышева, заметка "О построении географических карт".

Экслюзив: Письмо Рохлина Гудкову о том, что он доказал его гипотезу.

"Без сомнения, это доказательство лучше выражает топологическую суть дела, чем первое. Оно не было найдено сразу просто потому, что общая топологическая теорема, на которой оно основано [т.е. сравнение κ(F)−σ(X) ≡ 2τ(F)mod 8] не была известна. Вероятно, я скоро напишу это доказательство подробно. Конечно, я пришлю его Вам. Не знаю, сможете ли Вы ещё учесть его в Вашем обзоре.

Напишите, пожалуйста, нет ли аналогичных гипотез, относящихся к другим ситуациям, например, к кривым нечётной степени, к поверхностям или к неплоским кривым." 21.03.1972.

Подробнее.

из издания лекций Чебышева. То есть все спецкурсы в 19в. читали для 5 человек, и не стеснялись отчислить кого-то из них. Впрочем, и образование было платным (и дорогим), так что не вполне очевидно как была тогда устроена экономика образования.

Иллюстрация накрытия.
Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топология.

вот что математика делает с людьми! Из лекций по вычислительной конформной геометрии.

у обычного маятника есть устойчивое равновесие, когда он висит вертикально вниз, и неустойчивое — вертикально вверх, когда любое движение выводит его из равновесия. Оказывается, если точку подвеса маятника мелко и быстро колебать, то появится равновесие с маятником торчащим вверх. Отличное видео с объяснением и примерами. Тут текстом (малопонятно), более или менее копия с Кванта.

А вот статья Капицы:

"Естественно, что ни одной из механических систем не было уделено столько внимания и всестороннего теоретического изучения как всем разновидностям движения маятника. Казалось бы, что за 300 лет, прошедших со времён Галилея, этот вопрос должен был быть исчерпан и если что-либо оставалось для изучения, то это должно было носить характер дошлифовки ранее полученных результатов. Но, повидимому, тому типу движения маятника, которому посвящена эта статья, не было уделено достаточно внимания и одна из очень своеобразных и интересных разновидностей колебаний маятника осталась почти полностью не изученной. Обратить внимание на этот тип движения и на открывающиеся при его изучении возможности и ставит себе целью эта статья." Но видео лучше!

ламповые картинки из истории задачи трёх тел. (на английском, начиная с Пуанкаре).

Задача такая: есть три тела в пространстве, с массами. Каждое из них даёт поле из силы притяжения (пропорционально массе и квадрату расстояния, как сила тяжести на Земле).

Поэтому они друг на друга действуют. Даны начальные скорости. Как выглядят периодические решения? Разлетятся ли тела на бесконечность? Как вообще может развиваться ситуация?

Эта задача породила диффуры, динамические системы, стабильность, эргодические темы, симлектическую топологию... В общем, оказала влияние на всю математику.

Недавнее развитие истории (как система трёх тел может сломаться кроме как если одно тело упадёт на другое) — читайте пересказ Вити Клепцына для школьников, начиная с тут.

Из календаря на 2017 год. (а есть ещё 2018, 2019 осторожно много мегабайт, отсюда). Картинки + краткие биографии (отец Ньютона овцевод и другие замечательные подробности жизни учёных).

UPD: вот оригинальный сайт с календарём, спасибо PolinaW за указание!

"Известно, что из-за наличия силы Кориолиса поверхности, отделяющие две массы воздуха разной температуры (так называемые поверхности Маргулеса)), не могут быть ни горизонтальными, ни вертикальными, а косо залегают относительно друг друга. Место пересечения этой поверхности Маргулеса с землёй называется фронтом (тёплым или холодным). Почти все современные синоптики базируются на умении определить, что будет происходить с тем или иным фронтом, а потеря устойчивости волн, бегущих вдоль фронта, отождествляется образованием циклонов."

картинки и учебник где в главе 5 пишут все эти уравнения Маргулеса. Эксперимент с водой.

"Кочин первый, сделав упрощение уравнений гидродинамики (отбросив вертикальные ускорения частиц воздуха по сравнению с ускорением силы тяжести), решил задачу в условиях, приближающихся к атмосферной действительности, и показал, что в то время, как волны малых размеров на поверхности Маргулеса будут устойчивы, волны размера диаметров циклонов могут, при известных условиях терять устойчивость."