Нематематикам непонятно будет. В Технионе нашёл бумажные Успехи Математических Наук за 1976 год. Описание конференции в Сыктывкаре. Лекторы, Арнольд, Фукс, Вершик, Долгачев, Виро, Бернштейн, Богомолов, Бураго, Кириллов..., сыктывкарцы Мишачев и Элиашберг....
В сыктывкарском университете имени П. Сорокина (который тоже с удивительнейшей биографией) работали очень крупные математики.

Из интервью Ромы Михайлова.

"— Да, хороший вопрос. Сейчас происходит… Ну, все знают, что происходит. Встает естественный вопрос: как жить? Я когда-то понял, что воля к созданию иного — это что-то очень достойное человеческого существования. Не исправление того, что есть, — это приводит к воле к власти, борьбе за справедливость, захвату ресурсов. Себя я чувствую во всем этом совершенно бессильным. Но я могу создать вселенную, в которой будут такие законы, какие захочу, заняться чистым творчеством. Могу написать роман, в котором нет войны, в котором всё по-другому."

Посмотрел его фильм "Сказка для старых".

Джармушевская атмосфера и сказочные (в смысле Проппа) приключения бандитов. Испытания, загадки, попутчики и проводники (карлик вместо серого волка). Яблоки, лошади, мороки, жестокость, всё как в сказке.

Концовка такая: сидят бандиты (на свалке вещей, как и положено), говорят о погоде, обсуждают весну, а потом смеются. Какое это имеет отношение ко всему предыдущему? Наверное, мистическое путешествие, чтобы возвратиться домой другими, добрее. Это ладно. А с Мулей что? Понятнее не стало. Двойники какие-то. В сказках, если вдуматься, тоже ничего не понятно, жанр такой. Вы же не требуете логики интриги от раскраски или скрипичного концерта? Так и тут: логика сказки — есть, логики блокбастера — нет, но и не обещали. Непонятки с двойниками и воскресшими предателями как повод вместе собраться, попить чаю и порадоваться грядущей весне? Да, ровно так.

Если будете выбирать между тыквенным латте на хелоуин и "Сказкой для старых" — выбирайте сказку.

Абсолют может быть только познан, но не идентифицирован, и даже приблизительно не будет он идентифицирован.

Das Absolute kann nur anerkannt, aber nie erkannt, auch
nicht annähernd erkannt werden. Кантор, 1883.

Речь о том, что класс всех множеств (а множеством он не является, и можно называть его Абсолютом — типа такая бесконечность, которая включает в себя все бесконечности, и больше всех бесконечностей) не отличим от достаточно большого множества. То есть для любого конечного описания свойств множества всех множеств, можно будет найти настоящее множество, где всё то же будет выполняться. Абсолют неотличим от своих начальных кусков конечными процедурами.

Называется reflection principle. А вот текст, где обсуждается история аксиом теории множеств, и насколько эти аксиомы самоочевидны.

Отвечая на ответ. Кто совсем про сигнальные игры и "рынок лимонов" не слышал, сначала почитайте первую идею из Six Big Ideas (самый лучший короткий текст по экономике, что я знаю, см. пересказ).
Мысли по прочтении по диагонали гораздо более техничной лекции Спенса:

Продолжая про образование как экономическую сигнальную игру.

Правильно устроенный screening device позволяет нам делить людей на типы — например, можно представить, что образование легче получить тем, кто (настойчив и умеет систематизировать информацию)/(может почти без пропусков 5 лет ходить в одно и то же место, и относительно послушен). Если работодателю такие нужны, то для устройства на работу требуют диплом. Можно фантазировать, что сигнализирует наличие PhD/кандидатской степени. И это самоподдерживающееся равновесие, если все нафантазировали одинаково.

Ещё одна идея: если разделение работает хорошо, и образованные получают больше — можно ввести “налог” на образование, но так, чтобы умным по-прежнему было выгодно обучаться. Так можно объяснить, почему платное образование хорошо работает: если ты настолько умный, что можешь получить образование и потом много зарабатывать, то давай не только время трать на образование, но ещё и плати (много). Потом окупится. Рраз, и у государства/системы образования ниоткуда взялись деньги, которые можно потратить на что-то хорошее для всех.

Играя с модельками, можно и такую ситуацию получить: чем ты умнее, тем больше (времени/денег) тебе надо тратить на образование (чтобы отделить себя от когорты чуть менее умных). Тут можно нафантазировать постдоков, которые в 40 лет бросают науку, отчаявшись найти постоянную позицию (и уходят в менеджеры? Интересно, правда ли ушедшие в индустрию в 40 лет получают в среднем больше, чем те, кто пошёл работать сразу после университета?). Может, такого и не бывает, но математически это один из возможных вариантов (в равновесии более способные тратят больше усилий на сигнал, чем менее способные). Сюда же можно отнести то, что профессора математики долго учатся, а потом мало получают (в сравнении с сокурсниками) — ну, тоже такой фильтр, оставить только тех, кому настолько интересно дело, что не жалко потери в деньгах — наверное, именно такие люди должны учить будущих инженеров математике). Выбор карьерной траектории — тоже сильный сигнал (для рынка).

Далее, если образование всё же повышает эффективность труда, всё равно можно брать налог (как положительный — платное обучение, так и отрицательный — субсидии умным/бедным). Налог рассматривается как способ повысить эффективность системы (где уже хорошо работает разделение по типам), а не как самоцель.

И в завершение: то, как и на что вы тратите время — самый достоверный сигнал о том, что вы можете/хотите и тд. Это и так очевидно, но с точки зрения сигнальных игр видится немного иначе (например, если вы начальник, то сигнал — какие встречи/собрания вы посещаете/игнорируете, времени-то у вас мало).

отсюда. Шутка и правда разошлась. Кстати, есть ли идеи, как её перевести на английский (незанудно)?

Шамаим (небеса) — שָׁמַיִם это слово я узнал на курсе древнегреческого на теологическом факультете Женевского университета. А теперь услышал у таксиста в песенке! Небес, как известно, семь штук (ср. на седьмом небе от счастья), из которых два нижных (атмосфера и космос) и пять верхних (и что-то они все символизируют).

"Маим" это вода, у "м" есть два написания, מ, и на конце слова ם, и происходят они от финикийской m, которая похожа на нашу "м" (по написанию типа VVη) и обозначает воду.

Финикийский же шим "W" породил и греческую сигму Σ, и ивритскую ש. И это, типа, зубы. Вообще, освоение письменности с алфавитом в разы легче освоения письменности без алфавита.

Прямоугольник, у которого хотя бы одна из сторон имеет целочисленную длину, называется годным.

Теорема: Если некий прямоугольник разрезан на годные прямоугольники, то он сам годный.

Вот тут дано 14 (четырнадцать!) разных доказательств этой теоремы.

Самое простое, наверное, такое:

1) если стороны исходного прямоугольника параллельны осям координат, то и стороны всех прямоугольников, участвующих в разрезании, тоже параллельны.

2) покрасим исходный прямоугольник шахматной раскраской (с шагом 1/2).

3) в каждом годном прямоугольнике поровну чёрного и белого цвета.

4) а если исходный прямоугольник негодный, то в нём непоровну (явный подсчёт, нарисуйте).
——————————
Но есть доказательства и с помощью леммы Шпернера, и с помощью электрических цепей, и интегралов, и т.д..

Пусть у вас есть кусок тетрадного листа в клеточку, вырезанный по линиям сетки.
Можно ли этот кусок разбить на доминошки (прямоугольники 1 на 2 клеточки) ?

Покрасим кусок в шахматную раскраску. Если чёрных и белых клеток в нашем куске не поровну, то нельзя, конечно. А в общем случае?

Оказывается, что если нельзя, то всегда можно найти k клеток одного цвета, у которых менее k соседей другого цвета. Поэтому, если нельзя, то убедить другого человека очень просто — предъявляете этот набор и всё (см. рис. Предлагается разрезать на доминошки указанный кусок без красной клетки, k=6 чёрных клеток, отмеченных кружочками. У них всего 5 белых соседей).

Доказал этот факт некий Холл, если вы понимаете о чём я.

В журнале по обобщённой теории алгебр Ли (Lie) и приложений есть статья с кодовым словом Lie.

Уравнения Александра Фридмана использовали китайские студенты, протестуя против ковидных ограничений (две недели назад).

В послереволюционном Ленинграде сразу после публикаций Эйнштейна Фридман их воспринял, нашёл решения/уравнения для расширяющейся вселенной, но никто тогда внимания не обратил, все считали вселенную статичной.

Сильные уравнения. Партия, как везде пишется, следует науке — ну и вот.
Коронавирусные ограничения в Китае действительно существенно ослабили.

Список утверждений, которые иллюстрируют зачем нужны те или иные аксиомы теории множеств.
Например, аксиома выбора нужна, чтобы показать, что счётное объединение двухэлементных множеств — счётно.

А аксиома (схема) преобразования — чтобы показать, что различных мощностей множеств — несчётное число.

И, конечно, удивительно, что Кантор, стартуя с изучения тригонометрических рядов, придумал не только общую топологию, но и ординалы с трансфинитной индукцией (то есть и теорию множеств тоже). Вот что значит правильно выбранная задача! Подробнее.

Объяснение нескольких "парадоксов" теории множеств: например, есть счётная модель теории множеств, в которой есть несчётные объекты (Skolem's Paradox).

Или модель, в которой есть бесконечно убывающие (относительно отношения "принадлежать как элемент") цепочки, и при этом аксиома, запрещающая такие цепочки (Illfounded Models of Foundation).

А вот вопрос к аудитории: на картинке (с 14.) указывается порядковый тип первого бесконечного ординала (omega^M) для нестандартных натуральных чисел.

omega^M выглядит как копия натуральных чисел, за которой идёт куча копий целых чисел, проиндексированные рациональными числами.

Но это же не вполне упорядоченное множество?! (каждая из копий целых чисел например). Как это может быть ординалом?

Десять заключённых выстроили в ряд, и надели на них чёрные или белые шапки. Каждый видит шапки следующих, а предыдущих не видит (и свою не видит). Далее, начиная с первого, по очереди каждый называет цвет. Если совпадает с цветом его шапки — отпускают. И вот такой алгоритм: пусть первый скажет “чёрный” если видит чётное число шапок чёрного цвета перед собой (и "белый" иначе). Тогда следующий заключённый видит на одну шапку меньше (свою) и однозначно восстанавливает её цвет (и называет его). Так же дальше. Итого спасаются все, кроме может быть первого.

Теперь пусть стоит бесконечное (в одну сторону) множество заключённых (первый видит всех, кроме себя). В шапках. Оказывается, спастись могут все, кроме конечного числа (заранее неизвестного).
Объявим две последовательности шапок эквивалентными, если они совпадают с некоторого места. В каждом классе эквивалентности выберем представителя (в этом месте заключённые используют аксиому выбора).

Теперь каждый заключённый видит перед собой всех, начиная с себя, однозначно определяет класс эквивалентности и называет цвет, соответствующий своему номеру в представителе этого класса. Спасутся все, кроме конечного числа.

Возможно, впрочем, что в тюрьме аксиома выбора не работает.
Подробнее и больше примеров (цветов шапок и тд) по ссылке.

в 90ые были дискуссии в Америке, стоит ли (и как) помогать российской науке. См статью в ТРВ. Статья не очень зажигательная, но перспективу взгляду даёт. Самое классное — иллюстрация (как чел без головы, так и с ветками из головы, оба хороши).

Теорема Кёнига: в связном бесконечном графе, где степени всех вершин конечны, есть луч (бесконечный в одну сторону несамопересекающийся путь)

Доказательство: Возьмём любую вершину v_1. Посмотрим на все кратчайшие пути от неё до всех остальных вершин. По какому-то ребру из v_1 проходит бесконечное количество этих путей. Возьмём это ребро v_1v_2 как первый шаг бесконечного пути. Так же построим второй шаг (потому что путей, начинающихся с v_1v_2 осталось бесконечно много, поэтому можно сделать шаг v_2v_3). И так далее.

Вот если вершин исходного графа счётное число — то ура, доказательство закончено (пронумеруем вершины. если есть несколько вариантов следующего шага — идём в вершину с наименьшим номером). А если несчётное, то без аксиомы выбора (в каком-то виде) нам в этом доказательстве не обойтись.

Спросил у искусственного интеллекта, зачем изучать историю математики. Гладко стелет.
И в целом собеседник лучше, чем в среднем по интернету. Роботы уже победили!

Гипотеза Литтлвуда (открытая).

Обозначим за |x| расстояние от x до ближайшего целого числа. Например, |1.3| =0.3 = |2.7|. Рассмотрим любые два иррациональных числа a,b. Гипотеза:
произведение трёх чисел n (натуральное),|na|,|nb| бывает сколь угодно близко к нулю, иными словами

liminf n|na||nb| = 0 если натуральное n стремится к бесконечности.

Для sqrt 2, sqrt 3 тоже открыта.

————
В обзоре Венкатеша эта задача связывается с тем, когда диофантова форма (например, квадратичная, например, x^2+y^2-sqrt 2 z^2) на целых точках принимает значения сколь угодно близкие к нулю.

(гипотеза Литтлвуда, тем самым, спрашивает про кубическую форму L(n,m,k) = n(na-m)(nb-k)).

Красивая динамическая идея состоит в рассмотрении группы симметрий диофантовой формы, и если эта группа достаточно большая, то оказывается, что разные гипотезы эквивалентны некомпактности орбиты одной точки.
——
Следующая важная идея: множества (точек. например, орбиту) изучать сложно. Оказывается, проще изучать инвариантные [под действием какой-нибудь группы] меры — потому что пространство мер линейное, и там есть разложение в сумму “минимальных” мер (ибо точка выпуклого множества инвариантных мер это линейная комбинация крайних точек), а для множеств такой структуры нет.

Дальше в обзоре уже ничего не понял.

Нельзя, будучи в Китае, не заиметь печать. Наверное, про песок, раз уж я что-то понимаю в песках, захотелось

聚沙成塔

(китайская поговорка, собирание песчинок создаёт пагоду, интерпретация: множество мелких добродетелей ведёт к просветлению).

папа хуху сделал печать 債成沙塔 (читаем справа налево по горизонтали) — перевод: долг превращается в песочную башню. Игры слов, как и полагается!

Получил печать я аккурат вечером 31 декабря, в чём несомненно знак судьбы. Сегодня дораздал все денежные долги, теперь можно перейти и к другим обязательствам (чтобы все не думали, что они обратились в песок)

“Польза истории не только в том, она может раздать причитающиеся почести, и, тем самым, другие тоже могут стремиться к подобной похвале, но также и в превознесении искусства исследования и его методов через прославленные примеры.”

Это вторая фраза в труде Лейбница "История и начала дифференциального анализа". Писал этот текст он как аргумент в (довольно некрасивом с обеих сторон) споре с Ньютоном, что это именно он (Лейбниц) придумал дифференциальный анализ, а Ньютон всё украл.

Но умер, недописав (да и аргументировать получалось лучше у Ньютона). Опубликовали только 150 лет спустя.

Вот такой вот эпиграф с двойным дном для книги по истории математики.

Есть известная байка про математическую строгость: Коши в своём учебнике сначала доказывает, что сходящаяся последовательность непрерывных функций непрерывна, а потом строит контрпример к этому утверждению через несколько страниц, и этого не замечает.

А есть другая точкам зрения: мол, тогда ещё матанализ не был строго определён и все во всю пользовались терминами "бесконечно малая величина", не уточняя, что имеется в виду. Потом в 20м веке придумали строгое описание такой теории — нестандартный анализ.

В нестандартном анализе теорема Коши верна (там требуется сходимость последовательности функций поточечно, но не просто в вещественных точках, а ещё и в "инфинитезимально малых" точках, и индексы в последовательности надо допустить бесконечно большими).

Ну а Коши, когда писал, тоже не сильно различал, в какой версии матана он доказывает теорему, поэтому доказательство не неверное, а просто неполное и неаккуратное (как это бывает часто с доказательствами).

Прикладываю статью Лакатоша, где про это написано.