Прикольная задача-парадокс: представьте, некто выбрал (независимо) два случайных вещественных числа. И показал вам первое. Вы можете либо его взять, либо попросить дать другое (неизвестное). Выигрываете, если взяли максимальное из двух чисел. Вопрос, есть ли стратегия, которая позволяет выигрывать чаще, чем в половине случаев?

Удивительно, но да.

Например, если известно, что распределение с носителем на двух числах {0},{1}, то всё просто: если дали 0, надо просить другое число, если 1, то не просить.

А если выбирают числа из 0,1,2,3 ? Тогда понятно, что если дали 0, то надо просить поменять, если дали 3, то не менять. А что делать, если дали 1? Или 2? понятно, что 1 надо чаще просить менять, чем 2. Можно делать с какой-нибудь вероятностью. Например, если досталось 1, то просить поменять с вероятностью 2/3, а если досталось 2, то просить поменять с вероятностью 1/3.

А если распределение — равновероятное на интервале [0,1] ? Ну, тоже есть стратегия: если досталось число p, то с вероятностью p взять его, а с вероятностью 1-p взять второе, неизвестное. Можно посчитать и увидеть, что стратегия выгодная.

Заметим теперь, что вообще-то неважно, какое распределение на [0,1]. Указанная выше стратегия работает всегда. В общем-то, надо только число побольше менять пореже, числа поменьше менять почаще.

Ну а теперь и про произвольные вещественные числа понятно: ведь вещественную прямую можно отобразить с сохранением порядка на [0,1].

Иногда стратегию такую предлагают: нужно выбрать любое непрерывное распределение на вещественных числах, и когда вам дали число, выбрать случайное число из своего распределения, представить, что это неизвестное (второе) число, и принять решение менять/не менять исходя из этого.

После указанных выше биекций (можно своё распределение отобразить на [0,1] чтобы там получилось равномерное) — это ровно та же стратегия, что менять число p из [0,1] с вероятностью 1-p. Но горазде менее мистически выглядит.

См. тут и тут.

Много раз меня удивляло следующее: студент вроде всё понимает в курсе, а потом, рраз, и вдруг выясняется, что не понимает что-то совсем базовое и элементарное, объясняешь это, и всё снова хорошо, снова всё понимает.

Придумал этому объяснение: есть метафора (у Tessier вычитал) — что математические тексты они как истории с персонажами. Всё уже логично — но должно быть и драматургически согласованно. А литературные — в них уже драматургия, но должно быть логически правильно тоже ("логика мира" должна соблюдаться).

И вот если материал курса воспринимать как историю (и жизни) — этот пошёл туда, сказал и сделал то, привело к этому — и воспринятую в пересказе и через новости.

Потом выясняется, что какие-то детали в истории умолчаны, а есть даже и прямое враньё. Это необязательно ведёт к тому, что выводы из истории неправильные. Просто уточняется мотивация персонажей, они начинают играть новыми красками.

Если противоречий слишком много, то картинка может обрушиться и что-то новое выстроится на её месте, новое понимание. Или ничего не выстроится, снова станет всё непонятно.

Так же и с доказательствами получается. В голове всё живёт смесью силлогизмов и аналогий, и картинка должна быть согласованной (как в историях из жизни). Поэтому неправильное понимание какого-то базового факта может и не влиять на общее понимание главных результатов, примеров и тд.

А в следующем семестре преподаю теорию чисел. В школе и университете я её не любил (потому что выглядит как смесь удивительных совпадений в формулах, где никакой картинки не придумать), а последние лет 5 всё больше и больше мне нравилось (как раз удивительные совпадения!)

Расскажите, какие у вас любимые факты теории чисел, которые можно за полчаса рассказать 2-3 курсникам математикам?

Хочется либо на практике поразбирать в виде подборок задач, либо короткими отступлениями обсуждать иногда чудеса
(основной учебник: A classical introduction to modern number theory / K. Ireland, M. Rosen, он последовательный и строгий, без отступлений и чудес).

Двойное слепое тестирование было придумано при участии гомеопата в Нюрнбурге в 1835. Использование плацебо в испытаниях— тоже гомеопатом, в Петербурге в 1829 (см. приложенную статью).

По алхимической двойственности получаем, что то, что придумывают борцы с лженаукой, науке как раз навредит!

Душеподъёмное интервью Стаса Смирнова о математике, математическом образовании, науке, и всём таком:
https://www.youtube.com/watch?v=uv-wUPIILJc

мне было не понятно, что стоит за этими формулами. Прошло уже 4 года, а и сейчас не понятно. Умеет кто-то объяснять? Это из статьи Zagier. Отсюда

История лаборатории геометрии и топологии в ЛОМИ (ПОМИ) в исполнении О.Я. Виро. Отличная история про написание работы Виро-Тураева и другие байки. А потом С.В. Иванов про геометрические вещи рассказывает.

А тут про все остальные лаборатории.

"Традиционно утверждается, что большинство результатов, которые формулируются в элементарных [математических] курсах, следует сопровождать полными доказательствами. Такая точка зрения представляется нам безнадежно устаревшей, нереалистичной и лицемерной."

Из статьи Вавилова/Халина/Юркова. "НЕБЕСА ПАДАЮТ: МАТЕМАТИКА ДЛЯ НЕМАТЕМАТИКОВ"

"Что нас больше всего раздражает в жрецах так называемой “элементарной математики”, так это их крючкотворство и мелочный педантизм. Нам, воспитанным профессиональными математиками, все их дебаты кажутся совершенно лишенными смысла и крайне искусственными."

"В действительности дело обстоит следующим образом. Наличие или отсутствие доказательств никак не влияет на доверие студентов к самим результатам. Мы думаем, что основная роль доказательств в лекциях и учебниках для нематематиков состоит в следующем:

∙ Убедить студента в том, что он правильно понимает формулировку.

∙ Уточнить смысл результата и его связь с другими результатами.

При обучении профессиональных математиков доказательства могут иметь и другие функции:

∙ Отработать общие приемы математических рассуждений (индукция, редукция, разбиение на случаи, общее положение, специализация, …) и стандартную технику в какой-либо конкретной области.

∙ Выработать привычку и вкус к точным рассуждениям как таковым, а также тренировать привычку сразу отличать предположения, свидетельства и догадки от твердо установленных фактов.

∙ Как говорят в Кембридже, to illustrate some of the tedium."

И много примеров как компьютерную алгебру можно применять.
UPD: А тут — позитивные предложения. и тут

Статья Farey fractions and sums over coprime pairs объясняет наши формулы для числа пи. Наши площади для функции F — это коэффициенты разложения преобразования Лежандра по базису Шаудера. У нас SL(2,Z), у японца — дроби Фарея. А так то же самое.
Для японца это побочный продукт изучения (нигде не гладкой, но непрерывной) функции Такаги, для нас — побочный продукт тропической геометрии в песочных моделях. Математика едина.

Вот у японца есть формула для гаммы, её я пока не умею получать тропическим способом)

и вот ещё вам олимпиадная задача. Суммирование происходит по всем четвёркам чисел (a,b,c,d) неотрицательных целых, таких, что ad-bc=1

Как известно из отчёта Чебышёва о поездке в Париж в 1842, он там беседовал с Лебегом... Стоп, Лебег родился в 1875. После некоторого количества мучений нашёлся Victor-Amédée Lebesgue.

И такие ошибки (а тут даже не ошибка на самом деле, но то, что без поисков очень похоже на ошибку) на каждой странице можно найти. Редакторская работа как она есть, и не имеет она конца.

Или вот механизм Липкина-Посселье, по поводу которого споры о приоритете я несколько раз видел, вообще раньше их обоих изобретён Саррусом. См. скриншот отсюда.

Очередной пробный экземпляр напечатан в Цинхуа и поедет в Ханчжоу. А мне нравится ставить печать. Она подсыхает и рельефная.

Из вершин треугольника ABC проведём касательные к некоторой конике (например, эллипсу) и посмотрим, где эти касательные пересекают противоположные стороны треугольника. Полученные 6 точек, оказывается, лежат на одной конике. Отсюда.

удивительный факт: для любого вещественного x имеем F(x)=2