Вот такая задачка была на Петербургской топологической олимпиаде в 2019. П. в) — открытая задача, п. а) — упражнение для школьников, п. б) — сложная задача для студентов. Решённая в статье, и статье. А про триангуляции сферы читайте в статье Тёрстона. Теперь чуть подробнее.

Маткшольники знают формулу Эйлера: В-Р+Г=2 (для вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) планарных графов или для многогранников). А ещё это называется эйлеровой характеристикой, и для тора равно 0. Для разгона на картинке разбирается, как доказать, что в триангуляции сферы, где все вершины имеют степени только 5,6 или 7, есть хотя бы 12 вершин степени 5.

Как устроены триангуляции тора? Упражнение: в триангуляции тора в среднем у всех вершин степень 6 [пояснение: сумма степеней вершин триангуляции разделить на кол-во вершин = 6].

Как доказать, что НЕВОЗМОЖНО, чтобы все вершины имели степень 6, кроме двух, имеющих степень 5 и 7? Для этого начнём с любого треугольника рисовать "пояс" из треугольников. Он зацикливается. Либо это полоска ограничивает диск, либо режет тор на цилиндр.

Если поясок ограничивает диск, то можно взять копию этого диска и склеить по пояску сферу из них. Как мы знаем, на сфере будет много вершин степени 5. Значит и внутри диска будет много — но у нас была всего одна. Противоречие б) а если режет на цилиндр, то нужно сдвигать поясок, пока не наткнёся на вершину степени 7. потом, либо вершина степени 5 будет а)в соседнем пояске, но тогда в посках ниже будет с каждым шагом всё больше треугольников (а это невозможно, потому что на концах цилиндров одинаковые пояски), либо б) не на соседнем, и тогда поясков вообще больше не будет, противоречие (ведь есть ещё на другой стороне цилиндра)

Детали в статье, на стр. 2-3 (остальная часть статьи посвящена тому, что все остальные комбинации степеней вершин реализуются)

А можно взять триангуляцию тора, и склеить его из правильных треугольников. Тогда получится поверхность, которая везде плоская (кроме двух конических точек). Тогда для произволльной петли на поверхности можно рассмотреть голономию (параллельно перенести вектор вдоль неё). Для поверхности, склееной из правильных треугольников группа голономий — всегда подгруппа С_6. А теорема о голономии говорит, что на торе с двумя коническими точками группа голономии строго содержит C_6. Значит нет такой триангуляции.

Доказательство теоремы о голономии (две штуки — геометрическое и через связь с комплексным анализом, как я выше указал) в приложенной статье.

А вот такой вопрос: сколькими способами можно склеить двумерную сферу из треугольников? Подводит к следующей прекрасной статьей Тёрстона. Я не могу сказать, что многое в ней понимаю, иногда возвращаюсь, перечитываю, и понимаю больше.

Внутри: необычайные структуры на пространстве триангуляций, действие групп, решётки, гиперболические объёмы. Страшно подумать, что может найтись в аналогичной задаче для других поверхностей!

Вдруг кто меня в жизни не видел, вот он я, объясняю работу метода mapper. На стеклянной доске. Очень неудобная штука, оказывается. Если надо нарисовать ОДНУ картинку и пафосно вещать для красивых видео и фото — норм. А вот если надо много текста писать и быстро (как на меловой доске) — то дико неудобно, и очень долго стирать. Это ведь из маркеров выдавливается краска на стекло. И по мере высыхания стирается хуже и хуже.

Наши студенты сами для себя завели онлайно-оффлайн семинар по узлам, косам и прочей маломерной топологии. Смотрите, какие красивые картинки (пост выше)!

А вот по ссылке можно к этой группе присоединиться.

Протистологическая елка из канала биологов ЦИНа. И вас с праздниками. Бывают ли математические и программерские елки?

Σας έυχομαι καλά Χριστούγεννα! С Рождеством Христовым!

Теорема Гаусса-Бонне говорит, что интеграл от кривизны поверхности (кривизна в точке выражает насколько длина окружности радиуса r с центром в данной точки отличается от 2πr) равен её эйлеровой характеристике. Удивительный результат — интеграл от "локальной" искривлённости (геометрическое понятие) оказывается равен чисто топологической характеристике — для сферы 2, для тора 0, то есть никак не зависит от расстояний на поверхности! Легко проверить эту теорему для многогранников — у которых кривизна не ноль только в вершинах.

Лекция Дынникова (для студентов). А вот тут изложение с интуитивными объяснениями (и сначала примерами из сферической геометрии).

У формулы множество обобщений, например, Siegel изучал симплектические матрицы с точки зрения обобщения двумерных фактов. SL(2,R) действует на верхней полуплоскости, а ещё можно посчитать кообъём её по подгруппе SL(2,Z) (типа как фактор по решётке). Получится ζ-функция! а симплектические матрицы похожим образом действуют на полупространстве Зигеля. И кообъём равен уже произведению дзет от натуральных чисел.

Вычисление кообъёма (с помощью суммирования по Пуассону) можно прочитать тут. Зигелю это было интересно с точки зрения геометрии чисел, конечно — где дзета-функция, там теория чисел (см. скриншот). Статья называется Symplectic geometry, такая вот в 1943 году была симплектическая геометрия, однако. И вам желаю в праздники находить связи между теорией чисел и эйлеровой характеристикой.

Ещё мне очень нравится слово coördinates в тексте, веет граммофонами и письмами на жёлтой бумаге.

Отличная статья Сонина про аукционы и за что давали Нобелевские премии по экономике за них. Лучший текст для неспециалистов, что я видел.

"Теория аукционов является ядром современной экономической теории, а стандартные аукционы — базовыми элементами множества моделей в микро-экономике, экономике общественного сектора и финансах. Теоретические исследования аукционов сформировали современное понимание экономической роли информации в работе конкурентного рынка и формировании рыночной цены. Прикладной анализ аукционов лег в основу важных прак­ тических механизмов — например, механизмов приватизации и ре­приватиза­ции радиоспектра и государственных закупок. Нобелевская премия 2020 г., присужденная Роберту Уилсону и Полу Милгрому — это премия одновременно за вклад в создание основ теории аукционов и за разработку масштабных практических приложений"

— математиками становятся после этих мест и после многих других (НГУ, физическое образование и тд)

— кажется, важнее всего найти научного руководителя, а это проще там, где их много тусуется. Но не обязательно.

— никаких рецептов и советов, как стать математиком, видимо, нет. В следующей серии — о том, почему олимпиадникам трудно стать учеными и что с этим делать.

в Сириусе меня спросили, что делать, если ботал олимпиады, но на междунар не прошёл, как узнать о математике больше. Ответ — список книг. Рекомендуется посмотреть все, но читать выборочно — то, что по душе (и не обязательно сначала, книги лучше сначала листать, потом читать куски, потом читать с начала).

А. Я. Хинчин. Три жемчужины теории чисел (у теоремы ВдВ там сложное доказательство, более простое см. в статье Бугаенко
https://mccme.ru/free-books/dubna/bugaenko.pdf)

В. И. Арнольд. Цепные дроби.

Дж. Конвей. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях.

Н. Алон, Дж. Спенсер. Вероятностный метод.

В. Б. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях.

Дж. И. Литлвуд. Математическая смесь.

М. Айгнер, Г. Циглер. Доказательства из Книги.

С. Л. Табачников, Д. Б. Фукс. Математический дивертисмент.

А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка.

Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники.

И. Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры.

В. В. Прасолов. Многочлены.

В.Г. Болтянский. Наглядная топология.

Г Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры.

Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?

Почему олимпиадникам трудно стать учёными?

✅ Достоинства олимпиадников.
❌ Недостатки являются логичным продолжением достоинств.
⚠️ Советы — как работать над преодолением недостатков.

✅ умение выкладываться за 4 часа ❌ неумение долго монотонно работать ⚠️ приучиться регулярно возвращаться к непонятому/несделанному, понимать до мельчайших деталей, пусть и в несколько заходов

✅ знание части математики (дискретная математика) ❌ нежелание или боязнь осваивать другую, более абстрактную математику⚠️ обязательно пробовать разные области математики, ходить на спецкурсы/семинары из разных областей, пробовать читать хорошие книги из нелюбимых областей математики

✅ пробивная сила в решении задач ❌ отсутствие привычки понимать связи и многоуровневые абстракции ⚠️ рисовать схемы главных утверждений курса, связи, основные идеи, думать над связями между разными областями математики

✅ привычка к конкуренции ❌ боязнь быть не самым лучшим и дискомфорт от этого ⚠️ завести друзей с которыми вместе обсуждать математику, решать вместе задачи, искать ``свою'' область математики

В целом, олимпиадников надо учить по-другому: раз они концентрируются на задачах, значит с самого начала даже на простых курсах должно быть много сложных задач (и сложные курсы должны быть сразу тоже), как у нас например. Если к курсу или в книге нет задач — самостоятельно их придумывайте и решайте при чтении.

И, конечно, процент учёных среди олимпиадников выше чем в среднем по популяции (у нас на МКН 14 преподавателей из примерно 80 — победители междунара по математике, причём специализация самая разнообразная, 16 студентов междунарников на всех курсах (из примерно 200), и занимаются они тоже довольно разными вещами).

Просто не надо думать, что у школьников-олимпиадников уже есть все необходимые скилы, чтобы стать учёными — нет, у них просто небольшой бафф на старте, который может привести к негармоничной раскачке=)