Забавный эксперимент был однажды проведён. Если на первой контрольной занизить оценки, то вторую все напишут лучше, но оценка преподавания тоже понизится.
"Not to brag, but I consistently get high teaching scores on student evaluations. One semester, I decided I wanted to challenge my students a little more and try to induce them to work a little harder on their papers. This was maybe my 6th time teaching the class and I’d had very consistent teaching scores across all prior offerings. It’s a big class with 350 students and so this wasn’t a case of fluctuation from just a couple of people. I taught the class the same as always, except for one thing. I lowered the grades on the first paper by about a full letter grade. (Given grade inflation around here, that’s probably where they should have been in the first place, but that’s another topic altogether).
That did two things–the second set of papers was WAY better than the first one. And, I got the lowest teaching evaluations I had received in any class since I started teaching. You may not want to try such an experiment prior to tenure, but it might prove interesting."
https://orgtheory.wordpress.com/2007/03/08/student-evaluations-work/
"Not to brag, but I consistently get high teaching scores on student evaluations. One semester, I decided I wanted to challenge my students a little more and try to induce them to work a little harder on their papers. This was maybe my 6th time teaching the class and I’d had very consistent teaching scores across all prior offerings. It’s a big class with 350 students and so this wasn’t a case of fluctuation from just a couple of people. I taught the class the same as always, except for one thing. I lowered the grades on the first paper by about a full letter grade. (Given grade inflation around here, that’s probably where they should have been in the first place, but that’s another topic altogether).
That did two things–the second set of papers was WAY better than the first one. And, I got the lowest teaching evaluations I had received in any class since I started teaching. You may not want to try such an experiment prior to tenure, but it might prove interesting."
https://orgtheory.wordpress.com/2007/03/08/student-evaluations-work/
orgtheory.net
student evaluations work
Fabio A few days ago, my esteemed co-blogger Brayden wrote the following in a post about university teaching: “I almost finished this post with a rant about the ineffectiveness of student eva…
Колмогоров в далёком 1937 хотел построить открытое отображение (непрерывное + образ открытого открыт) из пространства меньшей размерности в пространство большей размерности. И он первым в мире смог (статья на немецком).
Для этого ему нужно было непрерывное отображение из тора на лист Мёбиуса, при котором параллель тора переходит в границу листа Мёбиуса (биективно). (у остальных точек листа Мёбиуса пусть будет по два прообраза).
Можете ли вы построить такое отображение? В комментариях я приведу ТРИ решения.
Для этого ему нужно было непрерывное отображение из тора на лист Мёбиуса, при котором параллель тора переходит в границу листа Мёбиуса (биективно). (у остальных точек листа Мёбиуса пусть будет по два прообраза).
Можете ли вы построить такое отображение? В комментариях я приведу ТРИ решения.
Посмотрим на простейшее отображение, которое НЕ СЮРЪЕКЦИЯ. Это отображение из пустого множества в одноточечное (левый столбец диаграммы) на картинке.
Рассмотрим все такие отображения f: X->Y, (правый столбец на картинке)
что для любого отображения из точки в Y (нижняя строчка) существует отображение из точки в X (диагональ), делающее эту диаграмму коммутативной.
Несложно понять, что класс таких отображений f: X->Y — это в точности класс сюръекций.
Потому что это в точности условие, что у любой точки y из Y есть прообраз x из X, f(x)=y.
По научному: мы только что построили класс морфизмов (в категории множеств), (справа) слабо ортогональный (относительно поднятия) отображению из пустого множества в точку. И этот класс оказался классом всех сюръекций. Продолжение следует.
Рассмотрим все такие отображения f: X->Y, (правый столбец на картинке)
что для любого отображения из точки в Y (нижняя строчка) существует отображение из точки в X (диагональ), делающее эту диаграмму коммутативной.
Несложно понять, что класс таких отображений f: X->Y — это в точности класс сюръекций.
Потому что это в точности условие, что у любой точки y из Y есть прообраз x из X, f(x)=y.
По научному: мы только что построили класс морфизмов (в категории множеств), (справа) слабо ортогональный (относительно поднятия) отображению из пустого множества в точку. И этот класс оказался классом всех сюръекций. Продолжение следует.
Может быть, нам с сюръекцией повезло? попробуем инъекцию. Рецент понятен: сначала надо взять простейшую не-инъекцию, а потом взять ортогональный класс морфизмов (но для дальнейшего совершенно не обязательно понимать, что это такое — надо лишь на картинки посмотреть и проверить, что если то, что нарисовано — выполняется, то f -- инъекция).
Итак, простейшая не-инъекция это отображение из двухэлементного множества в одноэлементное. На картинке это изображено столбцом, где {a,b} -> точку.
Чтобы отображение f: X -> Y было ортогонально не-инъекции, надо написать столбец f: X-> Y справа (или слева?), что отображения по строчками — любые, делающие квадрат коммутативным (то есть неважно как по стрелочкам идти), и потом постулировать существование строчки из левого нижнего угла в правый верхний, которая всё оставляет коммутативным.
Предлагаю в комментариях обсудить, почему ОБЕ конструкции приводят к классу инъекций. (или вопросы задать, если неясно, что происходит).
Итак, простейшая не-инъекция это отображение из двухэлементного множества в одноэлементное. На картинке это изображено столбцом, где {a,b} -> точку.
Чтобы отображение f: X -> Y было ортогонально не-инъекции, надо написать столбец f: X-> Y справа (или слева?), что отображения по строчками — любые, делающие квадрат коммутативным (то есть неважно как по стрелочкам идти), и потом постулировать существование строчки из левого нижнего угла в правый верхний, которая всё оставляет коммутативным.
Предлагаю в комментариях обсудить, почему ОБЕ конструкции приводят к классу инъекций. (или вопросы задать, если неясно, что происходит).
Дальше — больше. Кучу вещей (например, про отделимость) можно так формулировать и даже доказывать. На картинке кусок доказательства (в таком стиле) леммы Урысона — о том, что в нормальном пространстве для двух замкнутых непересекающихся множеств можно придумать непрерывную функцию, которая 0 на одном и 1 на другом. См. огромный текст Миши Гавриловича, где всякие такие штуки доказываются.
Общая топология как язык генерации строк/диаграмм и формальной работы с ними. Интересно было бы это замиксить с верификациями доказательств на языках типа lean.
Общая топология как язык генерации строк/диаграмм и формальной работы с ними. Интересно было бы это замиксить с верификациями доказательств на языках типа lean.
❤1
Forwarded from Непрерывное математическое образование
https://xkcd.com/2529/
серьезная картинка уже была в четверг (с кругами Форда) — а сегодня пусть будет несерьезная
серьезная картинка уже была в четверг (с кругами Форда) — а сегодня пусть будет несерьезная
xkcd
Unsolved Math Problems
и обложка (внутренняя) там классная. Математические концепты и известные теоремы/гипотезы переделывают в объявления из реальности этой вселенной.
👍1
Задача с экзамена по теории игр (моделирует аукцион, когда неизвестна ценность приза, но она положительно скоррелирована с ценностями игроков):
Два игрока, у каждого кошелёк, у первого А>0 денег, у второго Б>0 денег. Каждый знает свою сумму, а про чужую нет никакой информации вообще (кроме того, что она больше нуля).
Начинается открытый аукцион — оба игрока по очереди повышают ставку, перебивая ставку другого (пусть ставить можно только натуральное количество денег). Кто в итоге победил, тот платит свою ставку и получает от устроителя аукциона А+Б денег.
Например, А=1, Б=2, и первый торговался до 4 и победил, а последняя ставка второго была 3, тогда первый платит устроителю 4, и получает 3=2+1, а второй ничего не платит, ничего не получает.
Опишите как выглядят стратегии в этой игре. Опишите какое-нибудь симметричное равновесие в этой игре. Опишите какое-нибудь несимметричное равновесие в этой игре.
Завтра выложу в комментарии решение, если никто раньше меня не напишет.
Два игрока, у каждого кошелёк, у первого А>0 денег, у второго Б>0 денег. Каждый знает свою сумму, а про чужую нет никакой информации вообще (кроме того, что она больше нуля).
Начинается открытый аукцион — оба игрока по очереди повышают ставку, перебивая ставку другого (пусть ставить можно только натуральное количество денег). Кто в итоге победил, тот платит свою ставку и получает от устроителя аукциона А+Б денег.
Например, А=1, Б=2, и первый торговался до 4 и победил, а последняя ставка второго была 3, тогда первый платит устроителю 4, и получает 3=2+1, а второй ничего не платит, ничего не получает.
Опишите как выглядят стратегии в этой игре. Опишите какое-нибудь симметричное равновесие в этой игре. Опишите какое-нибудь несимметричное равновесие в этой игре.
Завтра выложу в комментарии решение, если никто раньше меня не напишет.
👍1
очень крутая подборка текстов на Arzamas про великих математиков
https://arzamas.academy/mag/1051-math
https://arzamas.academy/mag/1051-math
Arzamas
Истории о великих математиках
Ученики Колмогорова, Арнольда, Манина и других — об их жизни и научных открытиях
Блог Dan Ma по общей топологии. Там вы можете найти пример секвенциального замыкания, которое не секвенциально замкнуто. Общая топологиях сильно смыкается с логикой и теорией множеств (что естественно.) Есть даже открытые вопросы ("Компатные множества с маленькой диагональю метризуемы."), которая, принимая аксиому выбора (upd: континуум-гипотезу), решена , а иначе — не решена.
Dan Ma's Topology Blog
Expository Articles In General Topology
вышла статья (с коллегами из ВШЭ) по экономике на русском, гештальт закрыт.
Крабовый аукцион 2019: история, оценка и альтернативные сценарии
2021. Т. 25. № 4. С. 574–594, Экономический журнал ВШЭ
Аукционы считаются лучшим механизмом для эффективного распределения благ, и теория аукционов называется триумфом экономической науки. Однако не существует универсального формата аукциона, и каждый случай требует особого подхода. В этой работе мы изучим крабовый аукцион 2019 г., принесший государству 142 млрд руб. и ставший крупнейшим за всю историю России. Мы опишем формат этого аукциона и сравним его с альтернативными форматами.
В аукционе все лоты продавались раздельно (на торги за каждый из 40 лотов надо было заявляться и платить отдельный залог) и последовательно (торги за каждый лот начинались после окончания торгов за предыдущий). В качестве альтернативы мы рассматриваем единый формат (платить залог надо не за каждый лот в отдельности, а по числу желаемых лотов) и параллельный формат (все торги проходят и завершаются одновременно).
В качестве критериев сравнения мы используем (1) эффективность аукциона – распределение лотов среди участников с наибольшей ценностью, (2) выручку аукциониста и (3) манипулируемость – способность участника выиграть за счет использования изощренных стратегий. (1) и (2) – это стандартные критерии сравнения аукционов, а (3) предлагается нами как новый способ оценить устойчивость аукциона к нежелательному стратегическому поведению участников – лоббизму, шпионажу, сговору. Для оценки манипулируемости мы сперва определяем так называемые простые стратегии – повышение ставки вплоть до своей ценности (аналогично правдивому поведению в прямых механизмах) и затем оцениваем сожаление как цену следования простой стратегии вместо использования оптимальной (изощренной) стратегии. Чем выше это сожаление, тем более манипулируемым является аукцион.
Мы рекомендуем использовать единый параллельный формат, который обладает несколькими преимуществами по сравнению с форматом аукциона 2019 г.: он увеличивает эффективность распределения ресурсов, уменьшает выгоду от стратегических манипуляций и более устойчив к неправильному выбору резервной цены.
Полный текст статьи, ранняя английская версия (без моделирования).
Крабовый аукцион 2019: история, оценка и альтернативные сценарии
2021. Т. 25. № 4. С. 574–594, Экономический журнал ВШЭ
Аукционы считаются лучшим механизмом для эффективного распределения благ, и теория аукционов называется триумфом экономической науки. Однако не существует универсального формата аукциона, и каждый случай требует особого подхода. В этой работе мы изучим крабовый аукцион 2019 г., принесший государству 142 млрд руб. и ставший крупнейшим за всю историю России. Мы опишем формат этого аукциона и сравним его с альтернативными форматами.
В аукционе все лоты продавались раздельно (на торги за каждый из 40 лотов надо было заявляться и платить отдельный залог) и последовательно (торги за каждый лот начинались после окончания торгов за предыдущий). В качестве альтернативы мы рассматриваем единый формат (платить залог надо не за каждый лот в отдельности, а по числу желаемых лотов) и параллельный формат (все торги проходят и завершаются одновременно).
В качестве критериев сравнения мы используем (1) эффективность аукциона – распределение лотов среди участников с наибольшей ценностью, (2) выручку аукциониста и (3) манипулируемость – способность участника выиграть за счет использования изощренных стратегий. (1) и (2) – это стандартные критерии сравнения аукционов, а (3) предлагается нами как новый способ оценить устойчивость аукциона к нежелательному стратегическому поведению участников – лоббизму, шпионажу, сговору. Для оценки манипулируемости мы сперва определяем так называемые простые стратегии – повышение ставки вплоть до своей ценности (аналогично правдивому поведению в прямых механизмах) и затем оцениваем сожаление как цену следования простой стратегии вместо использования оптимальной (изощренной) стратегии. Чем выше это сожаление, тем более манипулируемым является аукцион.
Мы рекомендуем использовать единый параллельный формат, который обладает несколькими преимуществами по сравнению с форматом аукциона 2019 г.: он увеличивает эффективность распределения ресурсов, уменьшает выгоду от стратегических манипуляций и более устойчив к неправильному выбору резервной цены.
Полный текст статьи, ранняя английская версия (без моделирования).
Замечательный материал про Хавина на сайте конгресса. Показывает большой мир мат.анализа, красивого и интересного.
"В том же году Хавин организовал клуб для первокурсников, где мы изучали те части интегрального исчисления, которые не охватывает обычная программа. И сегодня, больше 25 лет спустя, я легко могу восстановить в памяти образ Виктора Петровича, который объясняет нам так называемую лемму о восходящем солнце. Это было настолько захватывающе, что не заразиться его энтузиазмом было невозможно. Хавин обладал замечательным качеством — способностью ценить изящные математические решения, старые и новые, которые он разработал сам, а также те, которые создали коллеги, друзья или незнакомцы. Новые вещи, которые он узнавал, захватывали его и он делился своим восторгом с учениками."
Вот чуть более подробная его биография и заметка про принцип неопределённости.
"В том же году Хавин организовал клуб для первокурсников, где мы изучали те части интегрального исчисления, которые не охватывает обычная программа. И сегодня, больше 25 лет спустя, я легко могу восстановить в памяти образ Виктора Петровича, который объясняет нам так называемую лемму о восходящем солнце. Это было настолько захватывающе, что не заразиться его энтузиазмом было невозможно. Хавин обладал замечательным качеством — способностью ценить изящные математические решения, старые и новые, которые он разработал сам, а также те, которые создали коллеги, друзья или незнакомцы. Новые вещи, которые он узнавал, захватывали его и он делился своим восторгом с учениками."
Вот чуть более подробная его биография и заметка про принцип неопределённости.
из задачника Магницкого (1669-1739), который Ломоносов называл "вратами учёности". На картинке и тексте какие-то две задачи про сферу, мне не удалось понять, о чём задачи.
Forwarded from Непрерывное математическое образование
kleptsyn-fibs.pdf
1.5 MB
сегодня — пусть здесь будет статья коллеги Клепцына «Слова на ленте» в журнале «Квантик» —
про числа Фибоначчи и слово Фибоначчи, квазипериодические картинки, фрактал Рози…
про числа Фибоначчи и слово Фибоначчи, квазипериодические картинки, фрактал Рози…