Математики, едущие на восток.

Много есть материалов о математиках, которые уехали из России после революции или во время неё. Но были математики, которые, наоборот, стремились в СССР (люди с социалистическими взглядами, а потом неарийцы бежали из Германии, когда там к власти пришли нацисты).

Очень классные биографии. Многих, конечно, репрессировали в 1937, как можно было бы предположить, даже не читая текст.

Там Мюнц, с лекции которого начался разгром Ленинградского матобщества в 1930, не взирая на что в 1932 он был послан на конгресс в Цюрихе. Франкл, который по заказу партийного начальства написал такой отчёт о советской топологии, что он стал учебником.

Бергман, в 1935 основавший математический журнал на немецком в Томске вместе с братом Нётер (которого потом расстреляли, а детей депортировали из СССР), сложным путём бежавший в Штаты.

Ласкер, играющий в шахматы с Виноградовым, как основное его занятие в Стекловке, и ударные шахматные бригады.

Арнольд Вальфиш, основавший аналитическую теорию чисел в Грузии, и ни с кем не говоривший никогда о политике, и потому доживший до 1962. Малер, чуть не уехавший в Саратов. Витгенштейн выучил русский и почти остался в СССР.

One might think that another obvious reason was the troublesome, to put it mildly, political situation in Russia. However, it appears that in most of the cases this was not a decisive factor in choosing a possible country for emigration; the true nature of the Russian political regime became apparent to people to the full extent only in the hindsight, after they spent some time in the country. In the considered period, the end of the 1920s – the 1930s, Russia appeared as an attractive destination for many people, especially educated intellectuals with left-wing political leanings: a country not without its rough edges, but successfully building a progressive new society, a place where scientists are respected and highly rewarded for their research and pedagogical endeavors. Also, at least for a certain period of time, with all the post-WWI devastation and later Great Depression, the working and economic conditions of scientists in Russia seemed to be at least not worse then those of their colleagues in Europe. The British Society for the Protection of Science and Learning in desperate efforts to help the growing number of displaced scholars, encouraged them to apply for jobs at Leningrad, among other “exotic” places.

... This time, however, the political climate and overall situation were different. A crude “statistics”: out of 22 mathematicians who emigrated to Russia between 1925 and 1941, three were murdered (Bauer, Burstin, Noether), one died mysteriously (Chwistek), four were deported or forced to leave the country (Muntz, Bergman, Romberg, Sadowsky), four have left themselves after a short period of time (Lasker, Mathisson, Rosen, Zaremba), four were prosecuted in that or another way, being imprisoned, or deprived from academic employment, or deported from the center to periphery (Czajkowski, Frankl, Plessner, Szilard), and in one case all the memory about the person was, after his natural death, erased from the official history (Grommer). It seems that among those who emigrated before 1937, only Frankl, Plessner, and Walfisz, and, to a lesser degree (but quite amazingly, taking into account a very short period of his activity in the country), Bergman, were able to influence the local mathematical community in some substantial way.

Горячо рекомендую, в общем, читайте:

https://web.osu.cz/~Zusmanovich/papers/ussr.pdf

в новом номере The Mathematical Intelligencer (типа нашего Кванта, но для взрослых) статья

Genius Loci: Mathematical Stories Along the Neva River

про иностранных петербургских математиков (несколько штук Бернулли, Эйлер, Фусс, Кантор, Кэли, Ламэ), а точнее, про места, где они жили, с красивыми фотографиями.

Рассмотрим граф. Вам надо взять случайное остовное дерево, и перенумеровать все деревья вы, конечно, не можете (их очень-очень много, порядка произведения всех степеней вершин). Что делать?

В 1979 году Gregory F. Lawler придумал изящный алгоритм (строить loop-erased walk):

+Выберем случайную (равновероятно) вершину a_0 графа. Выберем случайную вершину a_1, и начнём из неё случайное блуждание (строим путь, каждый раз идём по одному из рёбер из вершины, выбирая рёбра с равной вероятностью).

+Однажды оно придёт в a_0, в этот момент из пути, пройденного блужданием, удалим все циклы -- получим путь из a_1 в a_0, это часть строимого нами остовного дерева.

+На каждом следующем шагу мы выбераем случайную вершину из тех, что ещё не попали в дерево, и запускаем оттуда случайное блуждание, пока оно не придёт в построенную часть дерева, после чего удаляем все циклы из пути случайного блуждания, и добавляем построенный путь к дереву.

Довольно быстро мы остановимся, и окажется, что все остовные деревья имеют равные шансы быть построенными в результате этого алгоритма.

На лекториуме есть даже лекции 2012 года про похожее (self-avoiding walks), прямо от самого Lawler'а.

для тех, кто знает, что такое распределение (в статистике) — подробный текст А. Шеня о том, какие статистические данные о выборах можно считать доказательством фальсификации, какие нет, разбирается критика, а также много забавного фактического материала.

Попутно там на пальцах А. Шень (один из самых лучших известных мне преподавателей — в смысле понятности объяснений) разбирает базовые вопросы теории вероятностей, статистики и её применения.

Как найти площадь параллелограмма в трёхмерном пространстве? Очень просто — спроецировать его на три координатные плоскости, и извлечь корень из суммы квадратов площадей проекций. Очень похоже на то, как искать длину вектора.

Доказывается это, например, с помощью формулы Бине-Коши (на картинке). Матрица A — это два вектора, у каждого по три координаты. Пусть B= A* (я так обозначил транспонированное A). Тогда det(AA*) — квадрат площади параллелограмма (потому что AA* это матрица Грама двух векторов). А в правой части формулы — сумма квадратов площадей проекций.

Доказать формулу Бине-Коши можно раскрытием скобочек и многократным суммированием. Можно ли обойтись без кучи суммирований и индексов?

Может, знаете концептуальное доказательство?

История о ненаписанной заметке.

Около года назад Гриша Мерзон подарил мне книжку «Математический Петербург», в которой я с удивлением узнал, что первым явное трансцендентное число придумал Гольдбах больше чем за 100 лет до Лиувилля, который доказал именно его трансцендентность в 1844 году. Само число (сумма (1/10)^{2^k} или что-то подобное) было в переписке Эйлера и Гольдбаха (тут ошибка: правильно Гольдбаха и Д. Бернулли), опубликованной, которую Лиувилль читал несомненно.

И я тут же (повезло) придумал доказательство трансцендентности этого числа без теории (не)приближаемости. И решил написать про это заметку в «Математическое просвещение». Но обнаружил, что такую заметку туда уже написали Каибханов и Скопенков в 2006 году (называется «Примеры трансцендентных чисел»). Обнаружив это, я не расстроился, но чувство обеспокоенности осталось: не может быть, чтобы такое как у меня и вышеупомянутых людей рассуждение не было придумано раньше!

И я нашел (с трудом!) ссылку на заметку замечательного Родиона Осиевича Кузьмина «О трансцендентных числах Гольдбаха» в трудах ленинградского индустриального института за 1938 год. По названию я догадался о чем речь в заметке, но догадка это одно, а надо бы документ найти. И тут все застопорилось. Я даже в библиотеку собрался.


долго ли, коротко ли..
Меня в НМУ слушал слушатель из политехнического университета в спб, и 1) я догадался, что именно при нем и выходили те труды и 2) я не постеснялся его попросить найти мне номер этого журнала. Оказывается, журнал есть на кафедре математики, и его любезно дали сфотографировать. Сейчас выгружу в комментарий, вместе с текстом из фб про это.

То есть заметку написал вместо меня Кузьмин.

Кузьмин (1891-1949) весьма интересный. И то что 2 в степени корень из двух есть трансцендентное число — это Кузьмин, а не Гельфонд.

Удивительный был еще и отец Кузьмина, он был крестьянин, а дал всем своим детям (забыл, сколько их было, что-то не меньше четырех — нашел, семеро дожило до зрелых лет и все получили высшее образование!) высшее образование. Иначе, чем подвиг я это назвать не могу. Теоремы-то многие доказывают, а таких крестьян явно меньше, так мне кажется — а чтоб семеро детей, чудо если найдется «много».

Кажется (год назад я все это знал точно) сын Кузьмина погиб, защищая Ленинград, от чего и от блокады Р.О. уже фактически и не оправился и умер не старым человеком. (посмотрел: детей было четверо, войну пережила одна дочь). Биография Р.О. скопирована в комментариях.

Еще он с Гюнтером выпустили задачник, показавшимся мне на порядок лучше задачника Демидовича.

Еще он с Гауссом придумал статистику Гаусса-Кузьмина;)

Тут вспомнилась такая модель, на которой можно показать, почему разговоры с людьми о альтернативах "А или Б, что лучше?" не очень интересны.

Представьте торт. Он разнородный — где-то сладко, где-то чернослив, где-то кокос, который вы терпеть не можете. И вот, стоит человек с ножом, режет торт (как хочет) на две части и говорит — выбирай, какой кусок из двух больше нравится. Выбираете. Потом он режет выбранный кусок на две части, и снова предлагает выбирать. В какой-то момент он останавливает процесс и вы забираете текущий кусок.

Понятно ли, что такими операциями, режущий может "честно выдать" вам ЛЮБОЙ маленький кусок пирога?

Например, если вам совсем не нравится кокос, он вырезает очень маленький любой кусок без кокоса — и между ним и всем остальным, вы выберете очень маленький кусок.

В общем, если вы разговариваете с человеком, и он предлагает вам альтернативы, то при должном умении вас можно заставить выбрать вообще почти любую альтернативу (и даже если вы понимаете между чем выбираете). А когда обсуждаются гипотетические ситуации отдалённого будущего — так вообще дело швах. Если вы честно выбираете, что кажется лучше из альтернатив, вас можно подвести в необходимости введения промышленного людоедства (даже если не обманывать!). (Что будет, если ещё и обманывать можно — позже).

Это, впрочем, ещё у Аристотеля в "Риторике" — достаточно испугать народ, а потом можно убедить в необходимости вообще любых действий.

Но теперь у вас есть математическая модель и вы лучше понимаете бесполезность любых разговоров!

Продолжение этого. Если можно обманывать (называется байесовское убеждение).

Пусть у нас есть обвиняемый, судья и прокурор. Обвиняемый — виновен или нет, прокурор знает, виновен ли обвиняемый. Судья не знает. Есть какой-то тип экспертизы, которую прокурор может сделать (скажем, что в этом случае прокурор посылает сигнал X), а может и нет (в этом случае скажем, что он посылает сигнал Y).

Пусть известно, что обвиняемый виновен с вероятностью 0.3. Прокурор хочет обвинительного приговора безотносительно виновности обвиняемого. Судья получает 1, если правильно рассудил, и 0 иначе. И хочет максимизировать матожидание своего выигрыша.

И вот что делает прокурор: если обвиняемый виновен, он обязательно посылает сигнал Y. А если невиновен, то посылает сигнал X с вероятностью p, и сигнал Y с вероятностью 1-p.

Судья видит обвиняемого и видит сигнал, и знает p. Что он делает?

Он применяет формула Байеса. Если сигнал равен X, то обвиняемый точно невиновен. А если сигнал Y, то обвиняемый невиновен с вероятностью

a=0.7 (1-p)/ (0.7(1-p)+0.3).

пусть прокурор использует p=4/7. Тогда a=0.3/0.6=1/2. Будем считать, что в случае сомнений (то равновероятно, виновен или нет), судья обвиняет. Итак, судья обвиняет всегда, если получает сигнал Y. А его он получает c вероятностью 0.3+0.3=0.6.

То есть судья знает, что обвиняемый невиновен в 70% случаев, но обвиняет в 60% случаев!

Вот примерно так же мы воспринимаем ложь. Смотрите вы телевизор. И даже предполагаете, что половина того, что говорят — ложь. Но само получение сигнала уже меняет вашу картину мира (как выше у судьи!).

Поэтому в целях сохранения рассудка, если вы знаете, что источник иногда врёт (даже в 1 случае из 10) , лучше его не потреблять. Либо перепроверять просто каждый факт по разным источникам (а часто это попросут невозможно...).

Так что не только разговаривать, но и любые новости потреблять бессмысленно.

《送蓬仙兄返里有感 其一》周恩來

相逢萍水亦前緣
負笈津門豈偶然
捫蝨傾談驚四座
持螯下酒話當年
險夷不變應嘗膽
道義爭擔敢息肩
待得歸農功滿日
他年預卜買鄰錢

что я думал, провожая брата Пэньсяня, возвращающегося в деревню (Чжоу Энь-лай)

мы встретились как ряска на воде
но предначертано заранее все было
нести корзины с книгами в Тяньцзине
случайно ведь сложиться не могло
пощёлкивая вшей, беседуем непринуждённо
что удивляет восседающих вокруг
вино закусываем клешнями от крабов
под разговор о молодых годах
путь сквозь овраги и равнины неизменен
и горечь желчи надо пробовать опять
от бремени борьбы за справедливость
плечам да разве можно отдыхать?
в деревню возвращаться подожду
до дня, когда позволят мне заслуги
для тех годов уж сделал я свой выбор
копить на дом, где есть такой сосед

Пояснения:

ряска на воде - случайность встреч, которая сравнивается со случайностью соприкосновений ряски в колеблющейся воде
нести корзины с книгами - учиться
пощелкивая вшей беседовать - непринужденная беседа, без соблюдения формальностей
крабовые клешни - дорогая закуска
овраги и равнины - сложность и непредсказуемость пути (вот, новый поворот, что он нам несет, пропасть или взлет)
пробовать горечь желчи - напоминать себе о незавершенном деле отмщения
деньги на дом по-соседству - готовность дорого заплатить, лишь бы жить рядом с добродетельными людьми

Важность чувства тупизны в научной работе.

текст о том, почему чувствовать себя тупым, занимаясь наукой — нормально.
тезисно:

— очень умные бросают аспирантуру, потому что чувствуют себя очень тупыми,

— потому что в школе и университете надо понимать лекции, и надо "всё знать" (что положено), и с этим они справлялись,

— а в науке типичная ситуация, что вы (да и самые крутые учёные тоже) знаете примерно почти ничего. Некомфортно,

— но не обязательно депрессивно. Раз никто ничего не знает, то возможно открыть новое, потому что пробовать решать задачку можно бесконечным числом способов, и какие-то никто не пробовал.

— Экзамены можно делать не в стиле "проверить, что студент всё знает", а спрашивать более или менее открытые вопросы, чтобы видеть, докуда студент может дойти, преодолевая своё незнание и страх чувства тупости (и тогда будет лучше подготовлен к научной работе).
————

кажется, что формат курсовых (дают более или менее открытые задачи, и можно вполне ощутить свою тупизну) лучше таких экзаменов

Шеллинг, на деньги небезызвестной RAND Corporation, в 1971 придумал модель сегрегации.

Модель Шеллинга простая: на клетчатый лист бумаги ставим случайно в некоторые клетки белые и чёрные фишки. Если рядом с фишкой соседей противоположного цвета больше, чем некое число (например, 3), она (фишка) пытается отползти на соседнюю клетку (если та не занята) в сторону, где своих больше.
Неудивительно, что в такой модели фишки быстро сегрегируются на кластеры белых (сaucasian, кавказцев) и негров. Это — чуть ли не самое первое серьёзное применение математики в социологии. Модель простая, достаточно общая, вопроизводит то, что ожидается, но имеет и контринтуитивные следствия (всё, что надо для нетривиальной интересной модели).

Картинка отсюда (из статьи о сегрегации в израильской Рамле и попытках её моделировать).

Можно самому поиграться в политкорректную версию — вместо негров и кавказцев расставить треугольники и квадраты и посмотреть, что будет.

И читайте оригинальную статью Шеллинга, она лучше пересказов.

Почему Иванушка не может доказать теорему?
(вольный перевод названия WHY JOHNNY CAN’T PROVE)

Педагогический текст для всех, кто преподаёт математику с доказательствами.
Если коротко: математики не умеют учить доказательствам, умеют только отчислять тех, кто не научился доказывать.

— обучающихся (на всех специальностях) (в Штатах) всё чаще просят “объяснить, почему это так” (аргументировать)

— экстремальный случай: математика, там просят доказать. Но школьники часто вместо доказательства, будучи попрошены объяснить, выдают хронологическую цепочку действий.

— потому что им преподают АЛГОРИТМЫ решения задач, то есть цепочки действий.

— математику в профессиональной деятельности нужны именно доказательства, но в преподавании математики доказательства служат в первую очередь понятности. Если понимаешь доказательство работы алгоритма, например, то и сам алгоритм проще запомнить или модифицировать при случае.

— студенты начинают интересоваться доказательствами, когда хотят, чтобы изучаемое складывалось в одну картину (make sense).

— что такое “доказательство” обучающиеся узнают от учителей и друзей, это социокультурное понятие (априори не очевидное)

—In many textbooks used at the level under consideration, more or less formal arguments are used, together with visual or intuitive justifications, generic examples, and naive induction. Even the formal arguments are often only formal in appearance. But more importantly, students are rarely if ever given any indications whether mathematics distinguishes between these forms of argumentation or whether they are all equally acceptable.

—We learn by establishing connections and relationships, by building a web of ideas rather than a linear and logical sequence of implications; ideas grow synergetically rather than strictly on top of each other.

—In arguments, the semantic content of the reasons is important and determines the epistemic value of the claim; proofs, on the other hand, are detached from content; they must be valid rather than pertinent; the status of a proof, rather than its content, determines its epistemic value.

—[вместо доказательств иногда можно рисовать очень понятные убеждающие картинки] Visual reasoning is often analytic in the sense that the thinking subject consciously analyzes the visual images, and reflects on them. Such reasoning may include analyzing, acting on and transforming images, mental or external ones, and drawing conclusions about mathematical relationships from these actions.

— хорошо, когда есть задачи, где разные аргументации приводят к разным ответам. Тогда, конечно, возникает потребность в доказательстве!

...
У власти тысяча рук
и два лица.
У власти —тысячи верных слуг.
Больше друзей у беглеца.
Ветер за ним закрывает дверь,
вьюга за ним заметает след,
эхо ему говорит, где враг,
дерзость дает ему легкий шаг.

У власти тысяча рук,
как божье око она зорка.
У власти — тысячи верных слуг.
Но город не шахматная доска.
Не одна тысяча улиц в нем,
не один на каждой улице дом,
в каждом доме — не один вход.
Кто выйдет — кто не войдет.

На красного зверя назначен лов.
Охотников много и много псов.
Охотнику способ любой хорош —
капкан или пуля, отрава иль нож.
Дурная работа, плохая игра.
Сегодня все то же, что было вчера.
Холодное место, пустая нора.

У власти тысяча рук
и ей покорна страна.
У власти — тысячи верных слуг,
страхом и карой владеет она.
А в городе слухи —за вестью весть.
Убежище верное в городе есть.
Шпион шныряет, патруль стоит,
а тот, кто должен скрываться — скрыт.

Затем, что из дома в соседний дом,
из сердца в сердце мы молча ведем
веселого дружества тайную сеть.
Ее не учуять и не подсмотреть.

У власти тысяча рук
и не один пулемет.
У власти — тысячи верных слуг.
Но тот, кто должен уйти — уйдет.
На север,
на запад,
на юг,
на восток.
Дороги свободны, мир широк.

посвящено в 1922 сначала Кропоткину, а потом в 1960ые Свердлову

Первое использование буквы Алеф в математике, א
Кантор решил, что латинский и греческий алфавит слишком заезжен, надо что-то новое.