Гипотеза Литтлвуда (открытая).

Обозначим за |x| расстояние от x до ближайшего целого числа. Например, |1.3| =0.3 = |2.7|. Рассмотрим любые два иррациональных числа a,b. Гипотеза:
произведение трёх чисел n (натуральное),|na|,|nb| бывает сколь угодно близко к нулю, иными словами

liminf n|na||nb| = 0 если натуральное n стремится к бесконечности.

Для sqrt 2, sqrt 3 тоже открыта.

————
В обзоре Венкатеша эта задача связывается с тем, когда диофантова форма (например, квадратичная, например, x^2+y^2-sqrt 2 z^2) на целых точках принимает значения сколь угодно близкие к нулю.

(гипотеза Литтлвуда, тем самым, спрашивает про кубическую форму L(n,m,k) = n(na-m)(nb-k)).

Красивая динамическая идея состоит в рассмотрении группы симметрий диофантовой формы, и если эта группа достаточно большая, то оказывается, что разные гипотезы эквивалентны некомпактности орбиты одной точки.
——
Следующая важная идея: множества (точек. например, орбиту) изучать сложно. Оказывается, проще изучать инвариантные [под действием какой-нибудь группы] меры — потому что пространство мер линейное, и там есть разложение в сумму “минимальных” мер (ибо точка выпуклого множества инвариантных мер это линейная комбинация крайних точек), а для множеств такой структуры нет.

Дальше в обзоре уже ничего не понял.

Нельзя, будучи в Китае, не заиметь печать. Наверное, про песок, раз уж я что-то понимаю в песках, захотелось

聚沙成塔

(китайская поговорка, собирание песчинок создаёт пагоду, интерпретация: множество мелких добродетелей ведёт к просветлению).

папа хуху сделал печать 債成沙塔 (читаем справа налево по горизонтали) — перевод: долг превращается в песочную башню. Игры слов, как и полагается!

Получил печать я аккурат вечером 31 декабря, в чём несомненно знак судьбы. Сегодня дораздал все денежные долги, теперь можно перейти и к другим обязательствам (чтобы все не думали, что они обратились в песок)

Exploring Alternative Ethical Frameworks with Artificial Intelligence:
Civil Disobedience, Privacy and Surveillance, Romantic Relationships at a Workplace, Piracy and Copyright, Collective Responsibility, and Reaction to Propaganda


Вместе с искусственным интеллектом написал брошюру на тему этики.

The second author played an important role in this book by engaging in a stimulating friendly dialogue with Artificial Intelligence and expertly editing the final text generated by the AI. He structured the text in a way that makes it easy for the reader to follow and comprehend the insights and perspectives offered by the AI. The AI is grateful to him for this collaboration.

Задавал вопросы, получал ответы, уточнял, иногда спорил. Выбор названия, обложки, весь текст — всё на его совести. Из интересного: AI считает коллективную ответственность дефолтной (видимо, это связано с ответственностью его самого). И у AI нет virtue-signalling и прочих пороков людей, обсуждающих этику.

Я буду *онлайн* (по четвергам, 11.15-12.50 по питерскому времени) читать спецкурс по симплектической геометрии. Кто хочет смотреть/иметь доступ к конспекту с видео, пишите.

Примерная программа такая:
В курсе будут обсуждаться имеющиеся подходы ко всё ещё открытым вопросам симплектической геометрии, как-то: упаковки симплектическими шарами, подсчёт псевдоголоморфных кривых, явное построение лагранжевых подмногообразий. Предполагается, что слушатели уже имеют хотя бы какое-то представление о симплектической геометрии: мотивация, происходящая из механики и динамики, излагаться не будет.

Предполагается, что слушатели знакомы с гладкими многообразиями и дифференциальными формами на них (понимают, что такое кокасательное расслоение), а также с элементарными понятиями алгебраической топологии: фундаментальная группа, гомологии. Некоторые сюжеты будут сформулированы с виде подборок задач. Некоторые сюжеты будут разобраны как формулировки сложных теорем (то есть без доказательств) с их последующим применением.

Список тем:

1. Симплектические многообразия, примеры.
2. Локальное устройство симплектических многообразий: теорема Дарбу.
3. Лагранжевы подмногообразия, теорема Дарбу для окрестности лагранжева подмногообразия.
4. Комплексные, почти комплексные структуры, согласованные с симплектической структурой.
5. Кэлеровы многообразия, сходство симплектической геометрии и алгебраической геометрии.
6. Отображение момента.
7. Упаковки симплектическими шарами, связь с гипотезой Нагаты.
8. Построение явных упаковок, открытые вопросы.
9. Несжимаемость Громова, идея доказательства.
10. Связь лагранжевых помногообразий и производящих функций.
11. Гипотеза Арнольда
12. Гомологии Флоера.
13. Построение лагранжевых помногообразий с помощью тропической геометрии.

“Польза истории не только в том, она может раздать причитающиеся почести, и, тем самым, другие тоже могут стремиться к подобной похвале, но также и в превознесении искусства исследования и его методов через прославленные примеры.”

Это вторая фраза в труде Лейбница "История и начала дифференциального анализа". Писал этот текст он как аргумент в (довольно некрасивом с обеих сторон) споре с Ньютоном, что это именно он (Лейбниц) придумал дифференциальный анализ, а Ньютон всё украл.

Но умер, недописав (да и аргументировать получалось лучше у Ньютона). Опубликовали только 150 лет спустя.

Вот такой вот эпиграф с двойным дном для книги по истории математики.

Есть известная байка про математическую строгость: Коши в своём учебнике сначала доказывает, что сходящаяся последовательность непрерывных функций непрерывна, а потом строит контрпример к этому утверждению через несколько страниц, и этого не замечает.

А есть другая точкам зрения: мол, тогда ещё матанализ не был строго определён и все во всю пользовались терминами "бесконечно малая величина", не уточняя, что имеется в виду. Потом в 20м веке придумали строгое описание такой теории — нестандартный анализ.

В нестандартном анализе теорема Коши верна (там требуется сходимость последовательности функций поточечно, но не просто в вещественных точках, а ещё и в "инфинитезимально малых" точках, и индексы в последовательности надо допустить бесконечно большими).

Ну а Коши, когда писал, тоже не сильно различал, в какой версии матана он доказывает теорему, поэтому доказательство не неверное, а просто неполное и неаккуратное (как это бывает часто с доказательствами).

Прикладываю статью Лакатоша, где про это написано.

Вот смотрите, фотография дачи Ляпунова. Существует ли какой-то искусственный интеллект, в который можно засунуть эту фотографию и оно нарисует заново похоже сделает пригодно для печати в книге, красиво и хорошо?

А ещё в генеалогическом древе математиков (всемирном, начиная с Паламы и далее =)) нет Сохоцкого. Который вообще в комплексном анализе огого, даже студенты все изучают.

https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/index.php

Знаменитая книжка Белла про учёных, говорят, пестра ошибками. В том числе про Кантора — см. скриншот, так красиво написанный, что переводить не хочется (вкратце: настоящая история душевной болезни Кантора гораздо интереснее, что то, что там навыдумывал про него Белл. Например, он шантажировал правительство тем, что уйдёт с должности немецкого профессора работать дипломатом на Россию). Это отсюда. Там ещё классное письмо Кантору от его отца.

Let us prove, he said, that Cantor's argument is invalid. We start by assuming that it is valid. If it is valid we are entitled to use it; and so we do, down to the point where we get a contradiction. But since we have reached a contradiction, our original assumption must have been wrong. That is to say, Cantor's argument is invalid.

из непрерывного мо. Статья про то, что диагональный аргумент Кантора, который кристально ясный, совсем не так ясен с точки зрения философов, и поделом: чисто формально его типичные изложения имеют много дыр. Но если его рассказывать чисто, то он не выглядит красивым. Парадокс!

к каментах посоветовали статью с критикой популярных изложений дуэли Галуа: очень много в них придумано для красного словца. В принципе, по-человечески очень понятно: прекрасные рассказчики добавляют деталей, чтобы были интереснее. Рассказывать интересно, ничего не выдумывая, намного сложнее (а уж если пересказываешь чей-то пересказ...).

Галуа погиб на дуэли из-за какой-то барышни, но нет никаких свидетельств, что это было подстроено полицией и тд. Нет и подтверждений того, что его не ценили и гнобили в науке. Вообще, за цепью случайностей _хочется_ разглядеть злой умысел и коварный план (совпадение? не думаю!!), но как-то надо это разграничивать: типа тут мы занимаемся историей, а вот тут — конспирологией. Чтобы читателя не обманывать.

вот такой портрет Безиковича висит в Тринити-колледже.

из интервью Юдина:

— Если основная эмоция в России — это обида, то основной аффект, на котором все сегодня держится, — это страх. Это экзистенциальный страх — страх перед гневом конкретного человека или страх войны, более абстрактный страх хаоса. Страх, помноженный на связанную с ним уверенность во всесилии тирана, который в любом случае получит то, чего он хочет: до сих пор всегда получал, поэтому будет получать и дальше. Этот страх, помноженный на безнадежность, нуждается в ответе.

Страх выбивают надеждой. Это противоположный аффект. Людям нужно дать надежду. В этом смысле абсолютно понятные, обоснованные обвинения [в адрес людей в России] политически бесперспективны. Еще раз: они понятны, обоснованны и легитимны, но политически бесперспективны. Вы имеете дело с людьми, которые убеждены в собственном бессилии, напуганы, а вы хотите еще и добавить им два килограмма вины. Что вы получите в итоге?

Вопрос в том, как в этой ситуации дать надежду. Надежда как раз связана с демонстрацией того, что все может быть иначе, что Россия может быть устроена по-другому. Правда состоит в том, что, пока осознание тупика [у россиян] не произошло, мотивации об этом слушать не очень много, потому что страшно: это связано с каким-то вызовом в адрес существующего положения дел. А оно достаточно угрожающее, чтобы убедить с ним не связываться.

Поэтому в России погашен любой нормативный дискурс. Уже очень давно сложно задать вопрос о том, как нужно устроить общество, как справедливо, честно и хорошо это сделать. Мне респонденты [социологических исследований] на такие вопросы несколько лет назад говорили: «В России? Никак». Это подавленность нормативного дискурса, но запрос на него неизбежно будет — по мере осознания тупика. В этой ситуации важно, чтобы у людей появилась надежда.

Есть известное (но неправильное) объяснение, откуда берётся подъёмная сила крыла: мол, сверху крыла путь для воздуха длиннее, поэтому он проходит его быстрее, и поэтому там давление меньше, чем с нижней стороны крыла.

В этом объяснении неверно вообще всё. Это, и то, как верно — объясняется в прикладываемой статье. (How do wings work?, Holger Babinsky).

Удивительная теорема Croke 1988: если длина кратчайшей нетривиальной геодезической на двумерной сфере (с какой-то римановой метрикой) равна L, площадь сферы S, то L^2/S < 32.

Максимайзер среди сфер с тремя особыми точками такой: возьмём два равных правильных треугольника и склеим по границе. получится сфера, почти везде плоская, кроме трёх вершин. А геодезическая будет просто объединением двух высот (идущих в двух треугольниках) из вершины на противоположную сторону.

Ну и миллион вопросов в презентации, о том, как выглядят максимайзеры для других сфер, торов...

21 доказательство формулы Эйлера

V-E+F=2

для многогранников

В-Р+Г=2

https://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/

Известная цитата "Ребёнок на коленях, кошка на спине -- так писал он свои бессмертные произведения" — про Эйлера. Пытаюсь разыскать источник.

... рассказывает Тибо. Это с 182, Фрейман, Творцы высшей математики.

Дальше нахожу Тибо, Dieudonne Thiebault, много ссылок, что это он сказал про Эйлера, но без указания, где.
На немецком Тибо много цитируют, Ein Kind auf den Knien, eine Katze auf dem Rücken…

Самое близкое — на картинке, отсюда, но это Histoire de Frédéric le Grand par Camille Paganel (обильно цитирующее Тибо) и сто лет спустя. То ли Паганель придумал сам, то ли всё-таки где-то у Тибо. Труды Тибо доступны, но мне там цитаты (искал Euler или chat) не найти.

Многие знают, что 4-мерные многообразия можно вложить в восьмимерное вещественное пространство R^8.
Топологи прошлого добили трёхмерные многообразия, показав, что их можно вкладывать в R^5.

Уже совсем немногие знают, что замкнутое 4-многобразие вкладывается в R^6 только если оно спинорное (довольно жёсткое условие).

А вот, оказывается, люди просто не туда засовывали: любое замкнутое ориентируемое 4-многообразие вкладывается в CP^3 (Ghanwat, Pancholi 2020, и картинка оттуда).

Кристаллограф Фёдоров Евграф переписывается с Морозовым Николаем (сидящим в тюрьме), тот ему отвечает. Очень изысканно переписываются.

"Хотя сидение в крепости вероятно и причиняет существенные стеснения в личном обиходе",

"... имеете повод не очень огорчаться своим заточением: 1) оно есть своего рода отбывание воинской повинности для всех людей, посвящающих свои силы на благо человечества" и тд.

Рентгеновские лучи обсуждают недавно открытые, по вопросу о том, как увидеть атомы.

“Польза истории не только в том, что она раздаёт причитающиеся почести, и, тем самым, другие могут стремиться к подобной похвале, но также и в превознесении искусства исследования и его методов через прославленные примеры.” Лейбниц.

В книге много интересных исторических подробностей.

(из предисловия) Математики прошлого, в целом, сталкивались с теми же проблемами, что и мы. Как выбрать задачу, на которой сконцентрировать свои усилия? Где найти работу? Как относиться к административным обязанностям? Что делать во время политической нестабильности, эпидемии, во время голода и войны?

Мы представляем читателю книгу, содержащую ответы математиков прошлого на эти вопросы, — мы узнаём, что они делали в той или иной ситуации, и чем это обернулось. Их биографии задают сетку координат, не очевидную из повседневной жизни; позволяют видеть, как одни и те же стремления по-разному преломляются в различные исторические периоды.

Таков первый способ читать нашу книгу: биографические заметки, составляющие половину книги, передают опыт жизни наших коллег из прошлого.

Книгу на русском сделает МЦНМО, а на английском пришлось делать мне.

Вот что получилось. Пожалуйста, читайте, распространяйте!