Десять заключённых выстроили в ряд, и надели на них чёрные или белые шапки. Каждый видит шапки следующих, а предыдущих не видит (и свою не видит). Далее, начиная с первого, по очереди каждый называет цвет. Если совпадает с цветом его шапки — отпускают. И вот такой алгоритм: пусть первый скажет “чёрный” если видит чётное число шапок чёрного цвета перед собой (и "белый" иначе). Тогда следующий заключённый видит на одну шапку меньше (свою) и однозначно восстанавливает её цвет (и называет его). Так же дальше. Итого спасаются все, кроме может быть первого.

Теперь пусть стоит бесконечное (в одну сторону) множество заключённых (первый видит всех, кроме себя). В шапках. Оказывается, спастись могут все, кроме конечного числа (заранее неизвестного).
Объявим две последовательности шапок эквивалентными, если они совпадают с некоторого места. В каждом классе эквивалентности выберем представителя (в этом месте заключённые используют аксиому выбора).

Теперь каждый заключённый видит перед собой всех, начиная с себя, однозначно определяет класс эквивалентности и называет цвет, соответствующий своему номеру в представителе этого класса. Спасутся все, кроме конечного числа.

Возможно, впрочем, что в тюрьме аксиома выбора не работает.
Подробнее и больше примеров (цветов шапок и тд) по ссылке.

в 90ые были дискуссии в Америке, стоит ли (и как) помогать российской науке. См статью в ТРВ. Статья не очень зажигательная, но перспективу взгляду даёт. Самое классное — иллюстрация (как чел без головы, так и с ветками из головы, оба хороши).

Теорема Кёнига: в связном бесконечном графе, где степени всех вершин конечны, есть луч (бесконечный в одну сторону несамопересекающийся путь)

Доказательство: Возьмём любую вершину v_1. Посмотрим на все кратчайшие пути от неё до всех остальных вершин. По какому-то ребру из v_1 проходит бесконечное количество этих путей. Возьмём это ребро v_1v_2 как первый шаг бесконечного пути. Так же построим второй шаг (потому что путей, начинающихся с v_1v_2 осталось бесконечно много, поэтому можно сделать шаг v_2v_3). И так далее.

Вот если вершин исходного графа счётное число — то ура, доказательство закончено (пронумеруем вершины. если есть несколько вариантов следующего шага — идём в вершину с наименьшим номером). А если несчётное, то без аксиомы выбора (в каком-то виде) нам в этом доказательстве не обойтись.

Спросил у искусственного интеллекта, зачем изучать историю математики. Гладко стелет.
И в целом собеседник лучше, чем в среднем по интернету. Роботы уже победили!

Гипотеза Литтлвуда (открытая).

Обозначим за |x| расстояние от x до ближайшего целого числа. Например, |1.3| =0.3 = |2.7|. Рассмотрим любые два иррациональных числа a,b. Гипотеза:
произведение трёх чисел n (натуральное),|na|,|nb| бывает сколь угодно близко к нулю, иными словами

liminf n|na||nb| = 0 если натуральное n стремится к бесконечности.

Для sqrt 2, sqrt 3 тоже открыта.

————
В обзоре Венкатеша эта задача связывается с тем, когда диофантова форма (например, квадратичная, например, x^2+y^2-sqrt 2 z^2) на целых точках принимает значения сколь угодно близкие к нулю.

(гипотеза Литтлвуда, тем самым, спрашивает про кубическую форму L(n,m,k) = n(na-m)(nb-k)).

Красивая динамическая идея состоит в рассмотрении группы симметрий диофантовой формы, и если эта группа достаточно большая, то оказывается, что разные гипотезы эквивалентны некомпактности орбиты одной точки.
——
Следующая важная идея: множества (точек. например, орбиту) изучать сложно. Оказывается, проще изучать инвариантные [под действием какой-нибудь группы] меры — потому что пространство мер линейное, и там есть разложение в сумму “минимальных” мер (ибо точка выпуклого множества инвариантных мер это линейная комбинация крайних точек), а для множеств такой структуры нет.

Дальше в обзоре уже ничего не понял.

Нельзя, будучи в Китае, не заиметь печать. Наверное, про песок, раз уж я что-то понимаю в песках, захотелось

聚沙成塔

(китайская поговорка, собирание песчинок создаёт пагоду, интерпретация: множество мелких добродетелей ведёт к просветлению).

папа хуху сделал печать 債成沙塔 (читаем справа налево по горизонтали) — перевод: долг превращается в песочную башню. Игры слов, как и полагается!

Получил печать я аккурат вечером 31 декабря, в чём несомненно знак судьбы. Сегодня дораздал все денежные долги, теперь можно перейти и к другим обязательствам (чтобы все не думали, что они обратились в песок)

“Польза истории не только в том, она может раздать причитающиеся почести, и, тем самым, другие тоже могут стремиться к подобной похвале, но также и в превознесении искусства исследования и его методов через прославленные примеры.”

Это вторая фраза в труде Лейбница "История и начала дифференциального анализа". Писал этот текст он как аргумент в (довольно некрасивом с обеих сторон) споре с Ньютоном, что это именно он (Лейбниц) придумал дифференциальный анализ, а Ньютон всё украл.

Но умер, недописав (да и аргументировать получалось лучше у Ньютона). Опубликовали только 150 лет спустя.

Вот такой вот эпиграф с двойным дном для книги по истории математики.

Есть известная байка про математическую строгость: Коши в своём учебнике сначала доказывает, что сходящаяся последовательность непрерывных функций непрерывна, а потом строит контрпример к этому утверждению через несколько страниц, и этого не замечает.

А есть другая точкам зрения: мол, тогда ещё матанализ не был строго определён и все во всю пользовались терминами "бесконечно малая величина", не уточняя, что имеется в виду. Потом в 20м веке придумали строгое описание такой теории — нестандартный анализ.

В нестандартном анализе теорема Коши верна (там требуется сходимость последовательности функций поточечно, но не просто в вещественных точках, а ещё и в "инфинитезимально малых" точках, и индексы в последовательности надо допустить бесконечно большими).

Ну а Коши, когда писал, тоже не сильно различал, в какой версии матана он доказывает теорему, поэтому доказательство не неверное, а просто неполное и неаккуратное (как это бывает часто с доказательствами).

Прикладываю статью Лакатоша, где про это написано.

Вот смотрите, фотография дачи Ляпунова. Существует ли какой-то искусственный интеллект, в который можно засунуть эту фотографию и оно нарисует заново похоже сделает пригодно для печати в книге, красиво и хорошо?

А ещё в генеалогическом древе математиков (всемирном, начиная с Паламы и далее =)) нет Сохоцкого. Который вообще в комплексном анализе огого, даже студенты все изучают.

https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/index.php

Знаменитая книжка Белла про учёных, говорят, пестра ошибками. В том числе про Кантора — см. скриншот, так красиво написанный, что переводить не хочется (вкратце: настоящая история душевной болезни Кантора гораздо интереснее, что то, что там навыдумывал про него Белл. Например, он шантажировал правительство тем, что уйдёт с должности немецкого профессора работать дипломатом на Россию). Это отсюда. Там ещё классное письмо Кантору от его отца.

Let us prove, he said, that Cantor's argument is invalid. We start by assuming that it is valid. If it is valid we are entitled to use it; and so we do, down to the point where we get a contradiction. But since we have reached a contradiction, our original assumption must have been wrong. That is to say, Cantor's argument is invalid.

из непрерывного мо. Статья про то, что диагональный аргумент Кантора, который кристально ясный, совсем не так ясен с точки зрения философов, и поделом: чисто формально его типичные изложения имеют много дыр. Но если его рассказывать чисто, то он не выглядит красивым. Парадокс!

к каментах посоветовали статью с критикой популярных изложений дуэли Галуа: очень много в них придумано для красного словца. В принципе, по-человечески очень понятно: прекрасные рассказчики добавляют деталей, чтобы были интереснее. Рассказывать интересно, ничего не выдумывая, намного сложнее (а уж если пересказываешь чей-то пересказ...).

Галуа погиб на дуэли из-за какой-то барышни, но нет никаких свидетельств, что это было подстроено полицией и тд. Нет и подтверждений того, что его не ценили и гнобили в науке. Вообще, за цепью случайностей _хочется_ разглядеть злой умысел и коварный план (совпадение? не думаю!!), но как-то надо это разграничивать: типа тут мы занимаемся историей, а вот тут — конспирологией. Чтобы читателя не обманывать.

вот такой портрет Безиковича висит в Тринити-колледже.

Есть известное (но неправильное) объяснение, откуда берётся подъёмная сила крыла: мол, сверху крыла путь для воздуха длиннее, поэтому он проходит его быстрее, и поэтому там давление меньше, чем с нижней стороны крыла.

В этом объяснении неверно вообще всё. Это, и то, как верно — объясняется в прикладываемой статье. (How do wings work?, Holger Babinsky).

Удивительная теорема Croke 1988: если длина кратчайшей нетривиальной геодезической на двумерной сфере (с какой-то римановой метрикой) равна L, площадь сферы S, то L^2/S < 32.

Максимайзер среди сфер с тремя особыми точками такой: возьмём два равных правильных треугольника и склеим по границе. получится сфера, почти везде плоская, кроме трёх вершин. А геодезическая будет просто объединением двух высот (идущих в двух треугольниках) из вершины на противоположную сторону.

Ну и миллион вопросов в презентации, о том, как выглядят максимайзеры для других сфер, торов...

21 доказательство формулы Эйлера

V-E+F=2

для многогранников

В-Р+Г=2

https://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/

Многие знают, что 4-мерные многообразия можно вложить в восьмимерное вещественное пространство R^8.
Топологи прошлого добили трёхмерные многообразия, показав, что их можно вкладывать в R^5.

Уже совсем немногие знают, что замкнутое 4-многобразие вкладывается в R^6 только если оно спинорное (довольно жёсткое условие).

А вот, оказывается, люди просто не туда засовывали: любое замкнутое ориентируемое 4-многообразие вкладывается в CP^3 (Ghanwat, Pancholi 2020, и картинка оттуда).

Кристаллограф Фёдоров Евграф переписывается с Морозовым Николаем (сидящим в тюрьме), тот ему отвечает. Очень изысканно переписываются.

"Хотя сидение в крепости вероятно и причиняет существенные стеснения в личном обиходе",

"... имеете повод не очень огорчаться своим заточением: 1) оно есть своего рода отбывание воинской повинности для всех людей, посвящающих свои силы на благо человечества" и тд.

Рентгеновские лучи обсуждают недавно открытые, по вопросу о том, как увидеть атомы.

“Польза истории не только в том, что она раздаёт причитающиеся почести, и, тем самым, другие могут стремиться к подобной похвале, но также и в превознесении искусства исследования и его методов через прославленные примеры.” Лейбниц.

В книге много интересных исторических подробностей.

(из предисловия) Математики прошлого, в целом, сталкивались с теми же проблемами, что и мы. Как выбрать задачу, на которой сконцентрировать свои усилия? Где найти работу? Как относиться к административным обязанностям? Что делать во время политической нестабильности, эпидемии, во время голода и войны?

Мы представляем читателю книгу, содержащую ответы математиков прошлого на эти вопросы, — мы узнаём, что они делали в той или иной ситуации, и чем это обернулось. Их биографии задают сетку координат, не очевидную из повседневной жизни; позволяют видеть, как одни и те же стремления по-разному преломляются в различные исторические периоды.

Таков первый способ читать нашу книгу: биографические заметки, составляющие половину книги, передают опыт жизни наших коллег из прошлого.

Книгу на русском сделало МЦНМО.

А на английском вот что получилось. Пожалуйста, читайте, распространяйте!