Если поясок ограничивает диск, то можно взять копию этого диска и склеить по пояску сферу из них. Как мы знаем, на сфере будет много вершин степени 5. Значит и внутри диска будет много — но у нас была всего одна. Противоречие б) а если режет на цилиндр, то нужно сдвигать поясок, пока не наткнёся на вершину степени 7. потом, либо вершина степени 5 будет а)в соседнем пояске, но тогда в посках ниже будет с каждым шагом всё больше треугольников (а это невозможно, потому что на концах цилиндров одинаковые пояски), либо б) не на соседнем, и тогда поясков вообще больше не будет, противоречие (ведь есть ещё на другой стороне цилиндра)

Детали в статье, на стр. 2-3 (остальная часть статьи посвящена тому, что все остальные комбинации степеней вершин реализуются)

Ещё интерпретация: нет триангуляции тора с дефектами (отклонениями от шестёрки) +1,-1, потому что нет на торе мероморфной функции с одним полюсом и одним нулём.

А можно взять триангуляцию тора, и склеить его из правильных треугольников. Тогда получится поверхность, которая везде плоская (кроме двух конических точек). Тогда для произволльной петли на поверхности можно рассмотреть голономию (параллельно перенести вектор вдоль неё). Для поверхности, склееной из правильных треугольников группа голономий — всегда подгруппа С_6. А теорема о голономии говорит, что на торе с двумя коническими точками группа голономии строго содержит C_6. Значит нет такой триангуляции.

Доказательство теоремы о голономии (две штуки — геометрическое и через связь с комплексным анализом, как я выше указал) в приложенной статье.

А вот такой вопрос: сколькими способами можно склеить двумерную сферу из треугольников? Подводит к следующей прекрасной статьей Тёрстона. Я не могу сказать, что многое в ней понимаю, иногда возвращаюсь, перечитываю, и понимаю больше.

Внутри: необычайные структуры на пространстве триангуляций, действие групп, решётки, гиперболические объёмы. Страшно подумать, что может найтись в аналогичной задаче для других поверхностей!

Вдруг кто меня в жизни не видел, вот он я, объясняю работу метода mapper. На стеклянной доске. Очень неудобная штука, оказывается. Если надо нарисовать ОДНУ картинку и пафосно вещать для красивых видео и фото — норм. А вот если надо много текста писать и быстро (как на меловой доске) — то дико неудобно, и очень долго стирать. Это ведь из маркеров выдавливается краска на стекло. И по мере высыхания стирается хуже и хуже.

а вот как работает этот метод mapper. По ссылке сайт с пакетом на питоне, и в три клика и 5 строчек кода (в комментариях) можно такие картинки рисовать. Это я для популярной статьи для школьников о топологических методах в анализе данных. (замануха наивных душ в топологию)

Наши студенты сами для себя завели онлайно-оффлайн семинар по узлам, косам и прочей маломерной топологии. Смотрите, какие красивые картинки (пост выше)!

А вот по ссылке можно к этой группе присоединиться.

UPD: 16 июня 2021 конференция в честь Азата (с суперзвёздными докладчиками — Cédric Villani, Maryna Viazovska, Alexander Bufetov,Peter Scholze)

20 Dec 2020: Если вдруг не знаете про математика Азата Мифтахова — почитайте, и, при настроении, подпишите. В разных анархических акциях он участвовал, но окно в офисе ЕР, судя по всему, не разбивал, и, мне кажется, это такая "месть" силовиков за другие дела против Азата, где доказать ничего не получилось.

Кто не знает, есть целое СМИ с такого рода делами. Бороться и с хулиганами, и с экстремистами нужно (и это сложная работа), но не провокациями, лжесвидетелями и пытками.

Сбор подписей, в общем, не очень влияет на дела (кажется), но способствует распространению информации (а это уже чуть-чуть влияет) — если вместе с рассказом просить сделать что-то несложное (поставить подпись), то это запоминается лучше, и у поставивших подпись больше мотивации дальше распространять.

Лекция Залгаллера (1999 года, он в 2020 умер, немного не дожив до 100 лет): 1 часть — некоторые результаты из геометрии, 2 часть — воспоминания о Александрове (сколько разной математики он придумал), 3 часть — воспоминания о матмехе.

Залгаллер учился на матмехе, потом в 1941 после 3го курса в самолётном училище, и воевал до 1945, потом пришёл обратно на матмех, и хотел дальше учиться, а декан считал, что нужно дать ему диплом и корил за своевольство. Реакция Залгаллера :
“с полным афганским синдромом, с орденами, с таким примерно мировосприятием... смотрел на учёный совет с таким настроением — если я от живота бью из автомата — кто из них как себя поведёт… всё-таки приходилось отбиваться от немцев, которые бросают в тебя ручные гранаты…” — но через 2 месяца на матмехе это прошло.

(см. МатПрос но ссылка там теперь не работает) "Мне надо было вернуться мыслью в математику. И я ходил, слушал спецкурс у Маркова, ходил на семинар Александрова, где стал старостой семинара, и решал подряд все задачи из книги Натансона "Теория функций вещественной переменной". Вот чем я занимался, когда вернулся с фронта. И я предложил свои услуги Дворцу пионеров и вёл там два кружка."


Залгаллер учился в одном из первых кружков (1934 год), а потом в 1946 вёл кружки по математике уже сам. Ещё цитаты:

“сильными были те курсы, где студенты между собой много обсуждали математику…” — и это утратилось с переездом матмеха в Петергоф.

“Периодически математика должна обновляться” “читать надо много но выносить 40 процентов на экзамен.”
“Смирнов читал в два голоса…” “Представьте что Рохлина бы не преследовали, Громов бы остался на факультете, Элиашберг, Харламов…”

И вторая часть, про достижения Александрова в математике — очень интересно, но сложно пересказать, смотрите сами.

А вот воспоминания Залгаллера (запись в Реховоте в 2009 году), много про создание ЛОМИ и людей (Маркова и тд).

Протистологическая елка из канала биологов ЦИНа. И вас с праздниками. Бывают ли математические и программерские елки?

Σας έυχομαι καλά Χριστούγεννα! С Рождеством Христовым!

Теорема Гаусса-Бонне говорит, что интеграл от кривизны поверхности (кривизна в точке выражает насколько длина окружности радиуса r с центром в данной точки отличается от 2πr) равен её эйлеровой характеристике. Удивительный результат — интеграл от "локальной" искривлённости (геометрическое понятие) оказывается равен чисто топологической характеристике — для сферы 2, для тора 0, то есть никак не зависит от расстояний на поверхности! Легко проверить эту теорему для многогранников — у которых кривизна не ноль только в вершинах.

Лекция Дынникова (для студентов). А вот тут изложение с интуитивными объяснениями (и сначала примерами из сферической геометрии).

У формулы множество обобщений, например, Siegel изучал симплектические матрицы с точки зрения обобщения двумерных фактов. SL(2,R) действует на верхней полуплоскости, а ещё можно посчитать кообъём её по подгруппе SL(2,Z) (типа как фактор по решётке). Получится ζ-функция! а симплектические матрицы похожим образом действуют на полупространстве Зигеля. И кообъём равен уже произведению дзет от натуральных чисел.

Вычисление кообъёма (с помощью суммирования по Пуассону) можно прочитать тут. Зигелю это было интересно с точки зрения геометрии чисел, конечно — где дзета-функция, там теория чисел (см. скриншот). Статья называется Symplectic geometry, такая вот в 1943 году была симплектическая геометрия, однако. И вам желаю в праздники находить связи между теорией чисел и эйлеровой характеристикой.

Ещё мне очень нравится слово coördinates в тексте, веет граммофонами и письмами на жёлтой бумаге.

Отличная статья Сонина про аукционы и за что давали Нобелевские премии по экономике за них. Лучший текст для неспециалистов, что я видел.

"Теория аукционов является ядром современной экономической теории, а стандартные аукционы — базовыми элементами множества моделей в микро-экономике, экономике общественного сектора и финансах. Теоретические исследования аукционов сформировали современное понимание экономической роли информации в работе конкурентного рынка и формировании рыночной цены. Прикладной анализ аукционов лег в основу важных прак­ тических механизмов — например, механизмов приватизации и ре­приватиза­ции радиоспектра и государственных закупок. Нобелевская премия 2020 г., присужденная Роберту Уилсону и Полу Милгрому — это премия одновременно за вклад в создание основ теории аукционов и за разработку масштабных практических приложений"