Иллюстрация накрытия.
Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топология.

вот что математика делает с людьми! Из лекций по вычислительной конформной геометрии.

у обычного маятника есть устойчивое равновесие, когда он висит вертикально вниз, и неустойчивое — вертикально вверх, когда любое движение выводит его из равновесия. Оказывается, если точку подвеса маятника мелко и быстро колебать, то появится равновесие с маятником торчащим вверх. Отличное видео с объяснением и примерами. Тут текстом (малопонятно), более или менее копия с Кванта.

А вот статья Капицы:

"Естественно, что ни одной из механических систем не было уделено столько внимания и всестороннего теоретического изучения как всем разновидностям движения маятника. Казалось бы, что за 300 лет, прошедших со времён Галилея, этот вопрос должен был быть исчерпан и если что-либо оставалось для изучения, то это должно было носить характер дошлифовки ранее полученных результатов. Но, повидимому, тому типу движения маятника, которому посвящена эта статья, не было уделено достаточно внимания и одна из очень своеобразных и интересных разновидностей колебаний маятника осталась почти полностью не изученной. Обратить внимание на этот тип движения и на открывающиеся при его изучении возможности и ставит себе целью эта статья." Но видео лучше!

ламповые картинки из истории задачи трёх тел. (на английском, начиная с Пуанкаре).

Задача такая: есть три тела в пространстве, с массами. Каждое из них даёт поле из силы притяжения (пропорционально массе и квадрату расстояния, как сила тяжести на Земле).

Поэтому они друг на друга действуют. Даны начальные скорости. Как выглядят периодические решения? Разлетятся ли тела на бесконечность? Как вообще может развиваться ситуация?

Эта задача породила диффуры, динамические системы, стабильность, эргодические темы, симлектическую топологию... В общем, оказала влияние на всю математику.

Недавнее развитие истории (как система трёх тел может сломаться кроме как если одно тело упадёт на другое) — читайте пересказ Вити Клепцына для школьников, начиная с тут.

Из календаря на 2017 год. (а есть ещё 2018, 2019 осторожно много мегабайт, отсюда). Картинки + краткие биографии (отец Ньютона овцевод и другие замечательные подробности жизни учёных).

UPD: вот оригинальный сайт с календарём, спасибо PolinaW за указание!

"Известно, что из-за наличия силы Кориолиса поверхности, отделяющие две массы воздуха разной температуры (так называемые поверхности Маргулеса)), не могут быть ни горизонтальными, ни вертикальными, а косо залегают относительно друг друга. Место пересечения этой поверхности Маргулеса с землёй называется фронтом (тёплым или холодным). Почти все современные синоптики базируются на умении определить, что будет происходить с тем или иным фронтом, а потеря устойчивости волн, бегущих вдоль фронта, отождествляется образованием циклонов."

картинки и учебник где в главе 5 пишут все эти уравнения Маргулеса. Эксперимент с водой.

"Кочин первый, сделав упрощение уравнений гидродинамики (отбросив вертикальные ускорения частиц воздуха по сравнению с ускорением силы тяжести), решил задачу в условиях, приближающихся к атмосферной действительности, и показал, что в то время, как волны малых размеров на поверхности Маргулеса будут устойчивы, волны размера диаметров циклонов могут, при известных условиях терять устойчивость."

из книжки "История Ленинградского университета " (344 мб). Сорокин — крупнейший американский социолог.

Это я искал первоисточник того, что "в ноября 1921 Н.М. Гюнтер обратился в правление с просьбой помочь ему в починке обуви, так как в противном случае он не может посещать университет".
Вот тут впрочем, со ссылкой на архив, утверждается, что это был Марков и в марте 1921 года. Напомню детали того периода.

КУБУ – Комиссия по улучшению быта учёных — видео доклада.
http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=26397&option_lang=

Голод 18го года в Петрограде, пайки для учёных меньше чем для рабочих (потому что классовые).

В.П. Тянь-Шанский: сахара совершенно не было и он был заменён вредным для здоровья сахарином. Неслуховский съел кошку. А профессор зоологии Стрельников с другими гражданами съел только что подохшего от голода в зоологическом саду крокодила и говорил, что мясо его было очень вкусно и напоминало осетрину.

Гиппиус: зверей зоологического сада (ещё не подохших) кормят свежими трупами расстрелянных.

Горький добился у Ленина, чтобы создали КУБУ (Комиссия по улучшению быта учёных), чтобы выдавать пайки.
Ближе к концу доклада есть кусок из советского фильма с этой сценой.

В восторге от “A Geometry of Music” Tymoszcko. Когда раньше пробовал знакомиться с музыкальной теорией, каждый раз было ощущение, что это некоторая классификация, которая, возможно, несколько упрощает понимание, но не более того. Называются аккорды так и так, ну такой лад, другой лад, наверное, можно и по-другому классифицировать (скорее всего просто не просек фишку, но тем не менее). Здесь же создается контекст, в который убедительно ложится европейская традиция за последнюю тысячу лет, показывается за счет каких средств выразительности создается тональная музыка, и как она связана с атональной.

Идеи, которые мне особо запомнились:

1) В гармонии очень естественно возникают нетривиальные геометрические объекты. Попробую описать как. Во-первых, для гармонии неважно на какой октаве расположена нота, таким образом линия звуков разной высоты сворачивается в окружность (допустим мы начали из C первой октавы, дошли до C второй, в гармонии это та же самая C, сделали круг и вернулись в ту же точку). Дальше рассмотрим, например, аккорды из двух нот – по сути из них состоит двухголосная полифония. Если бы мы играли каждую ноту на своем инструменте, можно было бы сказать, что наше пространство аккордов состоит из точки, бегающей независимо по двум окружностям – это тор. Допустим, пианино играет C, а скрипка F#, это не то же самое, если пианино играет F#, а скрипка С. Если же мы играем на одном инструменте, то некоторые точки на торе сливаются: например, тритоны (C, F#) и (F#, C) – теперь с точки зрения гармонии это один и тот же аккорд.

Оказывается, пространство аккордов из двух нот – лента Мебиуса. Если знать, как из квадрата склеивается тор, это можно быстро найти, но и без этого не настолько сложно почувствовать, в чем поинт. Сперва рассмотрим тот же аккорд (С, F#). Если мы будем каждую ноту сдвигать параллельно, через тритон получим (F#, C). Мы вернулись в тот же аккорд не за октаву, что было бы в случае, если бы мы различали инструменты, а за половину. Однако, если мы возьмем унисон (пару из одних и тех же нот), например (C, C), и будем параллельно сдвигать его, в ту же точку мы вернемся уже через октаву. Эти два наблюдения в одну картинку совмещаются следующим образом. Граница ленты Мебиуса состоит из унисонов, причем точки на границе, лежащие на одной вертикали, находятся друг от друга на расстоянии половины октавы, например (C, C) и (F#, F#). Тритоны проходят по середине ленты. Параллельный сдвиг нот – движение параллельно границе, а движение по вертикали задается сдвигом нот в противоположных направлениях, например (С, F#) → (B, G).

Если короче, гармония живет на фактор пространстве n-мерного тора по группе перестановок из n элементов (орбифолды как в суперструнах!).

2) В аккордовом пространстве существует три каноничных способа измерять расстояния: хроматический (который в равномерно-темперированном строе первым приходит на ум), внутри лада, и по удаленности в кварто-квинтовом круге. Каждый из них наводит на использование различных приемов. В классической тональной музыке используются и часто согласуются все три, в чисто атональной остается только хроматическое расстояние, а например в церковной музыке, использующей натуральный строй, можно определить только расстояние внутри лада.

3) В некотором смысле тональная музыка переопределена. С одной стороны, можно руководствоваться приятным звучанием, а значит включать квинты, кварты, терции – то есть мажорные и минорные трезвучия, и их обращения. С другой – желанием сочетать гармонию с эффективным ведением голосов, тогда основные аккорды должны делить октаву почти равномерно – получаются те же мажорные и минорные трезвучия. В-третьих, те же аккорды задают почти равномерные лады. Каждое из этих соображений само по себе от других не зависит, но они приводят к похожему результату.

Несколько работ с разной музыкальной математикой (все книги без ссылок есть на либгене; или пишите в личку, скину):

“Formalized Music Thought and Mathematics in Composition” Iannis Xenakis – эту книгу можно читать хотя бы из-за рисунков хаотично расположенных нот. Ксенакис одним из первых стал применять марковские цепочки в композиции, а еще в книге есть примеры кода на BASIC.

“Dynamical and Topological Tools for (Modern) Music Analysis” Mattia Bergomi [ https://hal.inria.fr/tel-01265574/file/Main.pdf ] – модно и молодежно о персистентных гомологиях для анализа музыкальных произведений.

“Music: A Mathematical Offering” Dave Benson [ https://homepages.abdn.ac.uk/d.j.benson/pages/html/music.pdf ] – фокусируется больше на физических аспектах, много внимания уделено спектральным задачам, темперации и синтезу звука.

“The Topos of Music” Guerino Mazzola – монументальнейший труд об осмыслении музыки через теорию категорий. Автор учился у Ван дер Вардена, потом защитил докторскую по алгебраической геометрии: это задает специфический порог входа. По форме текст больше похож на статью в nLab, чем на книгу о собственно музыке. Также есть менее требовательные работы (на уровне вышеуказанных ссылок) с похожими, на мой взгляд, идеями. Например: “Triads and Topos Theory” Padraic Bartlett [ http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2007/REUPapers/FINALFULL/Bartlett.pdf ]

#туцтуц #kindamath

В поисках иллюстрации для книжки купил у букинистов литографированные лекции Егора Золотарёва по аналитической механике в Институте инженеров путей сообщения (примерно 1868-1871).

В этом фрагменте изучается геодезическая на поверхности вращения, получается что (xdy-ydx)/ds = const, поэтому площадь сектора пропорциональна длине геодезической.

Это инкарнация сохранения углового момента (когда фигуристы прижимают резко руки к груди, и из-за этого их скорость вращения скачком вырастает).

Про Золотарева есть в книге.

Остроградский под надзором полиции. Тут, Русская старина, 1901, ноябрь, стр 341. На предыдущих страницах объяснительная Тургенева, о том, что не надо его заочно казнить в эмиграции, он не декабрист, мимопроходил.

Особо прикалывает форма "государю императору благоугодно, дабы ваше сиятельство приказали..." ср. на турецком (дать приказ передать приказ дальше, или вот)

Про Остроградского есть в книге про петербургский математиков (но без подробностей выше)

На фото первое упоминение в литературе неравенства Коши-Буняковского-Шварца для интегралов (статья Буняковского, неравенство появляется как очевидное следствие неравенства Коши, Буняковский его даже не считает нужным доказывать). Я несколько раз слышал мнение, что Буняковского советские историки зря вписывали в открытие этого неравенства (типа Буняковский это сделал для бесконечных сумм, а не для интегралов), но нет, не зря. См. видео семинара по истории математики.

Ещё можете подагадываться как работает эккер и при чём тут теорема Пифагора (и про демографию, как её понимал Буняковский).

В самосчёты Буняковского нельзя было вводить числа большие 14(!). Не очень понятно, как это может быть реализовано технически, но вот, пишут. А вот тут пишут (с картинками), что в музеях хранятся не его счёты, а другие, и это всё ошибка.

И тут много фото стимпанка со счётными машинами (там и Ада, и Булль)

Кто нормально знает немецкий, можете перевести? Это стихи со свадьбы Эйлера в 1733, у питерских немцев (или вообще у всех немцев) было тогда принято сочинять шутошные свадебные куплеты. И вот. Это отсюда. История академии наук с выдержками из писем и тд.