Слава прислал:
В конце этой статьи Бар-Натан сжато собрал всю основную информацию о категорификации полинома Джонса для гомологий Хованова, чтобы читатель мог всегда носить ее с собой в кошельке)

О непустоте всего тщетного и о пустоте непустого.

Когда проверяете разные определения непрерывности у функции (сходящуюся последовательность функция переводит в сходящуюся это то же самое, что эпсилон-дельта определение) или определения замкнутого множества (вместе со сходящейся последовательностью содержит её предел равносильно тому, что любая точка в дополнении к множеству содержится там вместе с некоторой окрестностью), оказывается, что

используете аксиому выбора (и без неё эквивалентности НЕТ).

(для неспециалистов: аксиома выбора говорит, что если у вас есть некое множество непустых множеств Щ_i, то можно одновременно в каждом из Щ_i выбрать по элементу. Кажется, диким, но это никак не следует из того, что в каждом множестве можно выбрать какой-то элемент. Потому что вообще говоря, есть строить теорию множеств аксиоматически, то нельзя “взять” элемент непустого множества, можно только придумать какое-то свойство и взять все элементы множества, обладающие этим свойством).

Аксиома выбора эквивалентна тому, что декартово произведение непустых подмножеств любого множества непусто. А декартово произведение конечного набора непустых множеств всегда непусто. Сложно поверить в то, что если множеств становится бесконечно много, то их произведение может “стать” пустым. Поверить сложно, но из других аксиом не вывести, приходится добавлять отдельную аксиому.

Таким образом, почти вся разумная математика зиждется на АКСИОМЕ, что некие множества непусты.

Да и вообще, половина всех утверждений в математике с формальной точки зрения состоят в том, что какие-то другие множества непусты.

Философы занимаются переливанием из пустого в порожнее,
а математики — формальным выводом непустоты из другой непустоты.

[усиленная теорема Лиувилля]

Рассмотрим функцию на Z^2 (точки на плоскости с обеими целыми координатами). Пусть она неотрицательная во всех точках, и пусть значение в каждой точке равно среднему арифметическими значений в четырёх соседних (ближайших) точках. Такие функции называются дискретными гармоническими функциями, см. пример на картинке.

Докажите, что положительная дискретная гармоническая функция является константой.

[интересуют разные доказательства, чем больше разных, тем лучше]

картинка из статьи про гармонические функции на копеечных графах

Совершенно восхитительная лекция Тодаши Токиеда о том, почему разный звук, если в разные части кружки стучать ложкой, о том, как скатывается бутылка, частично наполненная рисом, и так далее.
https://www.youtube.com/watch?v=ZDXEr1qerYQ&t=120s

Красиво, контринтуитивно. Популяризация это или нет (и какой должна быть популяризация), мне сложно сказать, но просто красиво и интересно, неважно как классифицировать происходящее (стендап?)

Занятно, что
"По утверждению популяризатора Торы Артура Казвейла, выделение «противоестественных» сексуальных актов, не направленных на воспроизводство потомства, известных как «содомия», в качестве причины уничтожения городов является ошибочным. По его словам, ясное представление о грехах городов даёт текст Торы в комбинации с Устной Торой: «эти грехи состоят в отсутствии сочувствия, извращении правосудия, чрезмерном богатстве, подчинении и жестокости»".

В 2010 Россия и Иордания совместно отправились на поиски Содома и Гоморры (Россия искала Содом, а Иордания — Гоморру). Результаты изысканий мне найти не удалось (нашли и засекретили).

[на тему сегодняшнего праздника]

тропическая гиперповерхность в песочных моделях.

Санитары образовательного леса.

Размышляю, зачем будущих инженеров/врачей учат матану (в больших количествах). Версия о том, что матан им нужен для работы, отметается довольно быстро — не нужен. Или нужен, но одному из ста. Да и тому матану, который нужен, учить стоит совсем по-другому (но дорого, см. дальше).

Есть версия, что математика ум в порядок приводит, и это для общественного духовного роста. Даже критики не заслуживает, на мой взгляд (кроме авторитета Ломоносова никаких подтверждений нет о ускорении духовного роста сдавших матан).

Единственное рациональное объяснение, которое я знаю, такое: преподаватели калькулуса-матана-линейной алгебры для инженеров/врачей/… служат санитарами леса. Надо как-то из будущих врачей и инженеров отобрать тех, кто поумнее (и их уже учить всем премудростям), а остальных отчислить. А стандартный курс матана позволяет сделать это наиболее эффективно, традиционно, прозрачно и честно. Например, можно было бы каждому потенциальному врачу устраивать устный личный экзамен с практическими заданиями, но это очень дорого. А дать контрольную по вычислению интегралов на тысячу человек, а потом её проверить — дёшево и сердито.

Какие же механизмы в этом задействованы? Кажется, такие: чтобы сдать курс матана, нужно что-то понять. Не понимая совсем ничего, задачки на экзамене не решить (этим математика выгодно отличается от многих наук, где на экзамене надо писать тексты, и грань между понял/не понял гораздо менее ясная.). И помнить надо не очень много (в сравнении с изучением латыни, например).

То есть выживают студенты, которые, изучая матан, умудряются как-то сами в голове структурировать материал, что-то раскопать в учебниках, что-то в интернете, как-то научиться (часто самостоятельно) решать типовые (и не очень) задачи. То есть ровно те качества, которые нужны инженерам/врачам и тд. — умение разбираться в большой груде слабо структурированного материала. Единственное, чем хорош матан, получается — это что быстро и дёшево проверить, разобрался ли студент. Продемонстрировал ли нужные когнитивные навыки, настойчивость и тд. Веками откалиброванный тренажер.

То есть не математика ум в порядок приводит, а подготовка к сдаче экзаменов по матану требует когнитивных навыков, нужных везде. Развиваются ли эти навыки в процессе подготовки, это уже другой вопрос.

А размышляю я об этом, чтобы понимать, как преподавать такие курсы. Это же другая роль, очень неприятная — вместо несущего свет ощущаешь себя таким вот судьёй, который придумывает как эффективнее поделить студентов на агнцев и козлищ. Хочется как-то иначе осмыслить происходящее.

Нематематикам непонятно будет. В Технионе нашёл бумажные Успехи Математических Наук за 1976 год. Описание конференции в Сыктывкаре. Лекторы, Арнольд, Фукс, Вершик, Долгачев, Виро, Бернштейн, Богомолов, Бураго, Кириллов..., сыктывкарцы Мишачев и Элиашберг....
В сыктывкарском университете имени П. Сорокина (который тоже с удивительнейшей биографией) работали очень крупные математики.

Из интервью Ромы Михайлова.

"— Да, хороший вопрос. Сейчас происходит… Ну, все знают, что происходит. Встает естественный вопрос: как жить? Я когда-то понял, что воля к созданию иного — это что-то очень достойное человеческого существования. Не исправление того, что есть, — это приводит к воле к власти, борьбе за справедливость, захвату ресурсов. Себя я чувствую во всем этом совершенно бессильным. Но я могу создать вселенную, в которой будут такие законы, какие захочу, заняться чистым творчеством. Могу написать роман, в котором нет войны, в котором всё по-другому."

Посмотрел его фильм "Сказка для старых".

Джармушевская атмосфера и сказочные (в смысле Проппа) приключения бандитов. Испытания, загадки, попутчики и проводники (карлик вместо серого волка). Яблоки, лошади, мороки, жестокость, всё как в сказке.

Концовка такая: сидят бандиты (на свалке вещей, как и положено), говорят о погоде, обсуждают весну, а потом смеются. Какое это имеет отношение ко всему предыдущему? Наверное, мистическое путешествие, чтобы возвратиться домой другими, добрее. Это ладно. А с Мулей что? Понятнее не стало. Двойники какие-то. В сказках, если вдуматься, тоже ничего не понятно, жанр такой. Вы же не требуете логики интриги от раскраски или скрипичного концерта? Так и тут: логика сказки — есть, логики блокбастера — нет, но и не обещали. Непонятки с двойниками и воскресшими предателями как повод вместе собраться, попить чаю и порадоваться грядущей весне? Да, ровно так.

Если будете выбирать между тыквенным латте на хелоуин и "Сказкой для старых" — выбирайте сказку.

Абсолют может быть только познан, но не идентифицирован, и даже приблизительно не будет он идентифицирован.

Das Absolute kann nur anerkannt, aber nie erkannt, auch
nicht annähernd erkannt werden. Кантор, 1883.

Речь о том, что класс всех множеств (а множеством он не является, и можно называть его Абсолютом — типа такая бесконечность, которая включает в себя все бесконечности, и больше всех бесконечностей) не отличим от достаточно большого множества. То есть для любого конечного описания свойств множества всех множеств, можно будет найти настоящее множество, где всё то же будет выполняться. Абсолют неотличим от своих начальных кусков конечными процедурами.

Называется reflection principle. А вот текст, где обсуждается история аксиом теории множеств, и насколько эти аксиомы самоочевидны.

Отвечая на ответ. Кто совсем про сигнальные игры и "рынок лимонов" не слышал, сначала почитайте первую идею из Six Big Ideas (самый лучший короткий текст по экономике, что я знаю, см. пересказ).
Мысли по прочтении по диагонали гораздо более техничной лекции Спенса:

Продолжая про образование как экономическую сигнальную игру.

Правильно устроенный screening device позволяет нам делить людей на типы — например, можно представить, что образование легче получить тем, кто (настойчив и умеет систематизировать информацию)/(может почти без пропусков 5 лет ходить в одно и то же место, и относительно послушен). Если работодателю такие нужны, то для устройства на работу требуют диплом. Можно фантазировать, что сигнализирует наличие PhD/кандидатской степени. И это самоподдерживающееся равновесие, если все нафантазировали одинаково.

Ещё одна идея: если разделение работает хорошо, и образованные получают больше — можно ввести “налог” на образование, но так, чтобы умным по-прежнему было выгодно обучаться. Так можно объяснить, почему платное образование хорошо работает: если ты настолько умный, что можешь получить образование и потом много зарабатывать, то давай не только время трать на образование, но ещё и плати (много). Потом окупится. Рраз, и у государства/системы образования ниоткуда взялись деньги, которые можно потратить на что-то хорошее для всех.

Играя с модельками, можно и такую ситуацию получить: чем ты умнее, тем больше (времени/денег) тебе надо тратить на образование (чтобы отделить себя от когорты чуть менее умных). Тут можно нафантазировать постдоков, которые в 40 лет бросают науку, отчаявшись найти постоянную позицию (и уходят в менеджеры? Интересно, правда ли ушедшие в индустрию в 40 лет получают в среднем больше, чем те, кто пошёл работать сразу после университета?). Может, такого и не бывает, но математически это один из возможных вариантов (в равновесии более способные тратят больше усилий на сигнал, чем менее способные). Сюда же можно отнести то, что профессора математики долго учатся, а потом мало получают (в сравнении с сокурсниками) — ну, тоже такой фильтр, оставить только тех, кому настолько интересно дело, что не жалко потери в деньгах — наверное, именно такие люди должны учить будущих инженеров математике). Выбор карьерной траектории — тоже сильный сигнал (для рынка).

Далее, если образование всё же повышает эффективность труда, всё равно можно брать налог (как положительный — платное обучение, так и отрицательный — субсидии умным/бедным). Налог рассматривается как способ повысить эффективность системы (где уже хорошо работает разделение по типам), а не как самоцель.

И в завершение: то, как и на что вы тратите время — самый достоверный сигнал о том, что вы можете/хотите и тд. Это и так очевидно, но с точки зрения сигнальных игр видится немного иначе (например, если вы начальник, то сигнал — какие встречи/собрания вы посещаете/игнорируете, времени-то у вас мало).

отсюда. Шутка и правда разошлась. Кстати, есть ли идеи, как её перевести на английский (незанудно)?

Шамаим (небеса) — שָׁמַיִם это слово я узнал на курсе древнегреческого на теологическом факультете Женевского университета. А теперь услышал у таксиста в песенке! Небес, как известно, семь штук (ср. на седьмом небе от счастья), из которых два нижных (атмосфера и космос) и пять верхних (и что-то они все символизируют).

"Маим" это вода, у "м" есть два написания, מ, и на конце слова ם, и происходят они от финикийской m, которая похожа на нашу "м" (по написанию типа VVη) и обозначает воду.

Финикийский же шим "W" породил и греческую сигму Σ, и ивритскую ש. И это, типа, зубы. Вообще, освоение письменности с алфавитом в разы легче освоения письменности без алфавита.

Прямоугольник, у которого хотя бы одна из сторон имеет целочисленную длину, называется годным.

Теорема: Если некий прямоугольник разрезан на годные прямоугольники, то он сам годный.

Вот тут дано 14 (четырнадцать!) разных доказательств этой теоремы.

Самое простое, наверное, такое:

1) если стороны исходного прямоугольника параллельны осям координат, то и стороны всех прямоугольников, участвующих в разрезании, тоже параллельны.

2) покрасим исходный прямоугольник шахматной раскраской (с шагом 1/2).

3) в каждом годном прямоугольнике поровну чёрного и белого цвета.

4) а если исходный прямоугольник негодный, то в нём непоровну (явный подсчёт, нарисуйте).
——————————
Но есть доказательства и с помощью леммы Шпернера, и с помощью электрических цепей, и интегралов, и т.д..

Пусть у вас есть кусок тетрадного листа в клеточку, вырезанный по линиям сетки.
Можно ли этот кусок разбить на доминошки (прямоугольники 1 на 2 клеточки) ?

Покрасим кусок в шахматную раскраску. Если чёрных и белых клеток в нашем куске не поровну, то нельзя, конечно. А в общем случае?

Оказывается, что если нельзя, то всегда можно найти k клеток одного цвета, у которых менее k соседей другого цвета. Поэтому, если нельзя, то убедить другого человека очень просто — предъявляете этот набор и всё (см. рис. Предлагается разрезать на доминошки указанный кусок без красной клетки, k=6 чёрных клеток, отмеченных кружочками. У них всего 5 белых соседей).

Доказал этот факт некий Холл, если вы понимаете о чём я.

В журнале по обобщённой теории алгебр Ли (Lie) и приложений есть статья с кодовым словом Lie.

Уравнения Александра Фридмана использовали китайские студенты, протестуя против ковидных ограничений (две недели назад).

В послереволюционном Ленинграде сразу после публикаций Эйнштейна Фридман их воспринял, нашёл решения/уравнения для расширяющейся вселенной, но никто тогда внимания не обратил, все считали вселенную статичной.

Сильные уравнения. Партия, как везде пишется, следует науке — ну и вот.
Коронавирусные ограничения в Китае действительно существенно ослабили.

Список утверждений, которые иллюстрируют зачем нужны те или иные аксиомы теории множеств.
Например, аксиома выбора нужна, чтобы показать, что счётное объединение двухэлементных множеств — счётно.

А аксиома (схема) преобразования — чтобы показать, что различных мощностей множеств — несчётное число.

И, конечно, удивительно, что Кантор, стартуя с изучения тригонометрических рядов, придумал не только общую топологию, но и ординалы с трансфинитной индукцией (то есть и теорию множеств тоже). Вот что значит правильно выбранная задача! Подробнее.

Объяснение нескольких "парадоксов" теории множеств: например, есть счётная модель теории множеств, в которой есть несчётные объекты (Skolem's Paradox).

Или модель, в которой есть бесконечно убывающие (относительно отношения "принадлежать как элемент") цепочки, и при этом аксиома, запрещающая такие цепочки (Illfounded Models of Foundation).

А вот вопрос к аудитории: на картинке (с 14.) указывается порядковый тип первого бесконечного ординала (omega^M) для нестандартных натуральных чисел.

omega^M выглядит как копия натуральных чисел, за которой идёт куча копий целых чисел, проиндексированные рациональными числами.

Но это же не вполне упорядоченное множество?! (каждая из копий целых чисел например). Как это может быть ординалом?

Десять заключённых выстроили в ряд, и надели на них чёрные или белые шапки. Каждый видит шапки следующих, а предыдущих не видит (и свою не видит). Далее, начиная с первого, по очереди каждый называет цвет. Если совпадает с цветом его шапки — отпускают. И вот такой алгоритм: пусть первый скажет “чёрный” если видит чётное число шапок чёрного цвета перед собой (и "белый" иначе). Тогда следующий заключённый видит на одну шапку меньше (свою) и однозначно восстанавливает её цвет (и называет его). Так же дальше. Итого спасаются все, кроме может быть первого.

Теперь пусть стоит бесконечное (в одну сторону) множество заключённых (первый видит всех, кроме себя). В шапках. Оказывается, спастись могут все, кроме конечного числа (заранее неизвестного).
Объявим две последовательности шапок эквивалентными, если они совпадают с некоторого места. В каждом классе эквивалентности выберем представителя (в этом месте заключённые используют аксиому выбора).

Теперь каждый заключённый видит перед собой всех, начиная с себя, однозначно определяет класс эквивалентности и называет цвет, соответствующий своему номеру в представителе этого класса. Спасутся все, кроме конечного числа.

Возможно, впрочем, что в тюрьме аксиома выбора не работает.
Подробнее и больше примеров (цветов шапок и тд) по ссылке.