смотрите, какая шутка:
“One of my students once asked me what the p-adic norm measures. I told him it measures the p-ness of a rational number.” - Paul Sally
“One of my students once asked me what the p-adic norm measures. I told him it measures the p-ness of a rational number.” - Paul Sally
наткнулся на, видимо, первоисточник когомологического понимания сложения (которое в первом классе проходят).
Пусть мы озабочены сложением натуральных чисел до сотни. Давайте складывать по модулю 100 (то есть интересоваться только последними двумя цифрами суммы, в первом классе нет трёхзначных чисел).
Тогда операция "перенос" — это 2-коцикл.
Потому что натуральные числа (mod 100) это группа ЧЧ, в ней есть подгруппа "десятков", назовём её Ф. А ещё есть группа Z/10Z.
Так вот, ЧЧ — это центральное расширение Z/10Z с помощью Ф. Чтобы задать центральное расширение надо задать отображение carry: Z/10Z * Z/10Z -> Ф (которое собственно и говорит, когда надо делать перенос при cложении в столбик, а когда не надо). Такое отображение называется 2-коциклом.
Пусть мы озабочены сложением натуральных чисел до сотни. Давайте складывать по модулю 100 (то есть интересоваться только последними двумя цифрами суммы, в первом классе нет трёхзначных чисел).
Тогда операция "перенос" — это 2-коцикл.
Потому что натуральные числа (mod 100) это группа ЧЧ, в ней есть подгруппа "десятков", назовём её Ф. А ещё есть группа Z/10Z.
Так вот, ЧЧ — это центральное расширение Z/10Z с помощью Ф. Чтобы задать центральное расширение надо задать отображение carry: Z/10Z * Z/10Z -> Ф (которое собственно и говорит, когда надо делать перенос при cложении в столбик, а когда не надо). Такое отображение называется 2-коциклом.
appendixB.pdf
2.4 MB
в книжку добавился аппендикс. Это перевод на английский про КУБУ, было тут (про съедение крокодилов) и тут (про карикатуры). Имеется классная фотография Уэллса (да, он приезжал в Петроград в составе рабочей делегации, и потом много статей написал, "Россия во мгле"). Рассел тоже приезжал.
Для лекций по теорверу изучал связь между условным матожиданием и линейной регрессией. При чтении эконометрического текста узнал, что линейные регрессии придумал знаменитые евгеники Гальтон и Пирсон, изучая влияние роста родителей но рост детей. В списке литературы увидел модную статью:
Mathematical contributions to the theory of evolution. On telegony in man.
Abstract: (1) The term telegony has been used to cover cases in which a female A, after mating with a male B, bears to a male C offspring having some resemblance to or some peculiar characteristic of A’s first mate B. The instances of telegony usually cited are (i) cases of thoroughbred bitches when covered by a thoroughbred dog, reverting in their litter to half-breds, when they have been previously crossed by dogs of other races. Whether absolutely unimpeachable instances of this can be produced is, perhaps, open to question, but the strong opinion on the subject among dog-fanciers is at least remarkable; (ii) the case of the quagga noted by Darwin (see 'Origin of Species,’ 4th edition, p. 193), and still more recently (iii) a noteworthy case of telegony in man cited in the ‘British Medical Journal’ (see No. 1834, February 22, 1896, p. 462).
Насколько я понял, Пирсон написал захватывающий абстракт, но потом показывает, что статистически телегонию увидеть на данных с ростом не получается.
Mathematical contributions to the theory of evolution. On telegony in man.
Abstract: (1) The term telegony has been used to cover cases in which a female A, after mating with a male B, bears to a male C offspring having some resemblance to or some peculiar characteristic of A’s first mate B. The instances of telegony usually cited are (i) cases of thoroughbred bitches when covered by a thoroughbred dog, reverting in their litter to half-breds, when they have been previously crossed by dogs of other races. Whether absolutely unimpeachable instances of this can be produced is, perhaps, open to question, but the strong opinion on the subject among dog-fanciers is at least remarkable; (ii) the case of the quagga noted by Darwin (see 'Origin of Species,’ 4th edition, p. 193), and still more recently (iii) a noteworthy case of telegony in man cited in the ‘British Medical Journal’ (see No. 1834, February 22, 1896, p. 462).
Насколько я понял, Пирсон написал захватывающий абстракт, но потом показывает, что статистически телегонию увидеть на данных с ростом не получается.
Прикольная задача-парадокс: представьте, некто выбрал (независимо) два случайных вещественных числа. И показал вам первое. Вы можете либо его взять, либо попросить дать другое (неизвестное). Выигрываете, если взяли максимальное из двух чисел. Вопрос, есть ли стратегия, которая позволяет выигрывать чаще, чем в половине случаев?
Удивительно, но да.
Например, если известно, что распределение с носителем на двух числах {0},{1}, то всё просто: если дали 0, надо просить другое число, если 1, то не просить.
А если выбирают числа из 0,1,2,3 ? Тогда понятно, что если дали 0, то надо просить поменять, если дали 3, то не менять. А что делать, если дали 1? Или 2? понятно, что 1 надо чаще просить менять, чем 2. Можно делать с какой-нибудь вероятностью. Например, если досталось 1, то просить поменять с вероятностью 2/3, а если досталось 2, то просить поменять с вероятностью 1/3.
А если распределение — равновероятное на интервале [0,1] ? Ну, тоже есть стратегия: если досталось число p, то с вероятностью p взять его, а с вероятностью 1-p взять второе, неизвестное. Можно посчитать и увидеть, что стратегия выгодная.
Заметим теперь, что вообще-то неважно, какое распределение на [0,1]. Указанная выше стратегия работает всегда. В общем-то, надо только число побольше менять пореже, числа поменьше менять почаще.
Ну а теперь и про произвольные вещественные числа понятно: ведь вещественную прямую можно отобразить с сохранением порядка на [0,1].
Иногда стратегию такую предлагают: нужно выбрать любое непрерывное распределение на вещественных числах, и когда вам дали число, выбрать случайное число из своего распределения, представить, что это неизвестное (второе) число, и принять решение менять/не менять исходя из этого.
После указанных выше биекций (можно своё распределение отобразить на [0,1] чтобы там получилось равномерное) — это ровно та же стратегия, что менять число p из [0,1] с вероятностью 1-p. Но горазде менее мистически выглядит.
См. тут и тут.
Удивительно, но да.
Например, если известно, что распределение с носителем на двух числах {0},{1}, то всё просто: если дали 0, надо просить другое число, если 1, то не просить.
А если выбирают числа из 0,1,2,3 ? Тогда понятно, что если дали 0, то надо просить поменять, если дали 3, то не менять. А что делать, если дали 1? Или 2? понятно, что 1 надо чаще просить менять, чем 2. Можно делать с какой-нибудь вероятностью. Например, если досталось 1, то просить поменять с вероятностью 2/3, а если досталось 2, то просить поменять с вероятностью 1/3.
А если распределение — равновероятное на интервале [0,1] ? Ну, тоже есть стратегия: если досталось число p, то с вероятностью p взять его, а с вероятностью 1-p взять второе, неизвестное. Можно посчитать и увидеть, что стратегия выгодная.
Заметим теперь, что вообще-то неважно, какое распределение на [0,1]. Указанная выше стратегия работает всегда. В общем-то, надо только число побольше менять пореже, числа поменьше менять почаще.
Ну а теперь и про произвольные вещественные числа понятно: ведь вещественную прямую можно отобразить с сохранением порядка на [0,1].
Иногда стратегию такую предлагают: нужно выбрать любое непрерывное распределение на вещественных числах, и когда вам дали число, выбрать случайное число из своего распределения, представить, что это неизвестное (второе) число, и принять решение менять/не менять исходя из этого.
После указанных выше биекций (можно своё распределение отобразить на [0,1] чтобы там получилось равномерное) — это ровно та же стратегия, что менять число p из [0,1] с вероятностью 1-p. Но горазде менее мистически выглядит.
См. тут и тут.
Mathematics Stack Exchange
Puzzle: Guessing the bigger number!
Consider the following interesting puzzle:
"Alice writes two distinct real numbers between 0 and 1 on two sheets of paper. Bob selects one of the sheets randomly to inspect it. He then has to de...
"Alice writes two distinct real numbers between 0 and 1 on two sheets of paper. Bob selects one of the sheets randomly to inspect it. He then has to de...
Много раз меня удивляло следующее: студент вроде всё понимает в курсе, а потом, рраз, и вдруг выясняется, что не понимает что-то совсем базовое и элементарное, объясняешь это, и всё снова хорошо, снова всё понимает.
Придумал этому объяснение: есть метафора (у Tessier вычитал) — что математические тексты они как истории с персонажами. Всё уже логично — но должно быть и драматургически согласованно. А литературные — в них уже драматургия, но должно быть логически правильно тоже ("логика мира" должна соблюдаться).
И вот если материал курса воспринимать как историю (и жизни) — этот пошёл туда, сказал и сделал то, привело к этому — и воспринятую в пересказе и через новости.
Потом выясняется, что какие-то детали в истории умолчаны, а есть даже и прямое враньё. Это необязательно ведёт к тому, что выводы из истории неправильные. Просто уточняется мотивация персонажей, они начинают играть новыми красками.
Если противоречий слишком много, то картинка может обрушиться и что-то новое выстроится на её месте, новое понимание. Или ничего не выстроится, снова станет всё непонятно.
Так же и с доказательствами получается. В голове всё живёт смесью силлогизмов и аналогий, и картинка должна быть согласованной (как в историях из жизни). Поэтому неправильное понимание какого-то базового факта может и не влиять на общее понимание главных результатов, примеров и тд.
Придумал этому объяснение: есть метафора (у Tessier вычитал) — что математические тексты они как истории с персонажами. Всё уже логично — но должно быть и драматургически согласованно. А литературные — в них уже драматургия, но должно быть логически правильно тоже ("логика мира" должна соблюдаться).
И вот если материал курса воспринимать как историю (и жизни) — этот пошёл туда, сказал и сделал то, привело к этому — и воспринятую в пересказе и через новости.
Потом выясняется, что какие-то детали в истории умолчаны, а есть даже и прямое враньё. Это необязательно ведёт к тому, что выводы из истории неправильные. Просто уточняется мотивация персонажей, они начинают играть новыми красками.
Если противоречий слишком много, то картинка может обрушиться и что-то новое выстроится на её месте, новое понимание. Или ничего не выстроится, снова станет всё непонятно.
Так же и с доказательствами получается. В голове всё живёт смесью силлогизмов и аналогий, и картинка должна быть согласованной (как в историях из жизни). Поэтому неправильное понимание какого-то базового факта может и не влиять на общее понимание главных результатов, примеров и тд.
А в следующем семестре преподаю теорию чисел. В школе и университете я её не любил (потому что выглядит как смесь удивительных совпадений в формулах, где никакой картинки не придумать), а последние лет 5 всё больше и больше мне нравилось (как раз удивительные совпадения!)
Расскажите, какие у вас любимые факты теории чисел, которые можно за полчаса рассказать 2-3 курсникам математикам?
Хочется либо на практике поразбирать в виде подборок задач, либо короткими отступлениями обсуждать иногда чудеса
(основной учебник: A classical introduction to modern number theory / K. Ireland, M. Rosen, он последовательный и строгий, без отступлений и чудес).
Расскажите, какие у вас любимые факты теории чисел, которые можно за полчаса рассказать 2-3 курсникам математикам?
Хочется либо на практике поразбирать в виде подборок задач, либо короткими отступлениями обсуждать иногда чудеса
(основной учебник: A classical introduction to modern number theory / K. Ireland, M. Rosen, он последовательный и строгий, без отступлений и чудес).
и вот ещё вопрос по теории чисел: всегда раздражало меня, что нет тождеств для log(A)*log(B) ну то есть можно написать что-то нелепое вроде log(A^log(B)) но это не то. Про синусы есть тождества, про полиномы есть, про факториалы есть, а про логарифмы — нет.
Бывают ли вообще формулы, где встречаются произведения логарифмов?
Типа, может Рамануджан придумал что-нибудь, не знаю, типа просуммировать log(sin(n))*log(cos(n)) и красивое получить.
Видимо, эквивалентный вопрос — это бывают ли формулы, где появляется e^e^{...}
Бывают ли вообще формулы, где встречаются произведения логарифмов?
Типа, может Рамануджан придумал что-нибудь, не знаю, типа просуммировать log(sin(n))*log(cos(n)) и красивое получить.
Видимо, эквивалентный вопрос — это бывают ли формулы, где появляется e^e^{...}
dean_2006_an_innocent_deception_placebo_controls_in_the_st_petersburg.pdf
47.1 KB
Двойное слепое тестирование было придумано при участии гомеопата в Нюрнбурге в 1835. Использование плацебо в испытаниях— тоже гомеопатом, в Петербурге в 1829 (см. приложенную статью).
По алхимической двойственности получаем, что то, что придумывают борцы с лженаукой, науке как раз навредит!
По алхимической двойственности получаем, что то, что придумывают борцы с лженаукой, науке как раз навредит!
Душеподъёмное интервью Стаса Смирнова о математике, математическом образовании, науке, и всём таком:
https://www.youtube.com/watch?v=uv-wUPIILJc
https://www.youtube.com/watch?v=uv-wUPIILJc
YouTube
Станислав Константинович Смирнов «Перспективы математического образования в России и в мире»
Научный руководитель факультета МКН СПбГУ и лауреат премии Филдса Станислав Константинович Смирнов проводит ставшую традицией «Беседу с математиком» – публичное интервью по вопросам, которые подписчики задавали в соц.сетях. Ведущий – выпускник факультета…
мне было не понятно, что стоит за этими формулами. Прошло уже 4 года, а и сейчас не понятно. Умеет кто-то объяснять? Это из статьи Zagier. Отсюда
"Традиционно утверждается, что большинство результатов, которые формулируются в элементарных [математических] курсах, следует сопровождать полными доказательствами. Такая точка зрения представляется нам безнадежно устаревшей, нереалистичной и лицемерной."
Из статьи Вавилова/Халина/Юркова. "НЕБЕСА ПАДАЮТ: МАТЕМАТИКА ДЛЯ НЕМАТЕМАТИКОВ"
"Что нас больше всего раздражает в жрецах так называемой “элементарной математики”, так это их крючкотворство и мелочный педантизм. Нам, воспитанным профессиональными математиками, все их дебаты кажутся совершенно лишенными смысла и крайне искусственными."
"В действительности дело обстоит следующим образом. Наличие или отсутствие доказательств никак не влияет на доверие студентов к самим результатам. Мы думаем, что основная роль доказательств в лекциях и учебниках для нематематиков состоит в следующем:
∙ Убедить студента в том, что он правильно понимает формулировку.
∙ Уточнить смысл результата и его связь с другими результатами.
При обучении профессиональных математиков доказательства могут иметь и другие функции:
∙ Отработать общие приемы математических рассуждений (индукция, редукция, разбиение на случаи, общее положение, специализация, …) и стандартную технику в какой-либо конкретной области.
∙ Выработать привычку и вкус к точным рассуждениям как таковым, а также тренировать привычку сразу отличать предположения, свидетельства и догадки от твердо установленных фактов.
∙ Как говорят в Кембридже, to illustrate some of the tedium."
И много примеров как компьютерную алгебру можно применять.
UPD: А тут — позитивные предложения. и тут
Из статьи Вавилова/Халина/Юркова. "НЕБЕСА ПАДАЮТ: МАТЕМАТИКА ДЛЯ НЕМАТЕМАТИКОВ"
"Что нас больше всего раздражает в жрецах так называемой “элементарной математики”, так это их крючкотворство и мелочный педантизм. Нам, воспитанным профессиональными математиками, все их дебаты кажутся совершенно лишенными смысла и крайне искусственными."
"В действительности дело обстоит следующим образом. Наличие или отсутствие доказательств никак не влияет на доверие студентов к самим результатам. Мы думаем, что основная роль доказательств в лекциях и учебниках для нематематиков состоит в следующем:
∙ Убедить студента в том, что он правильно понимает формулировку.
∙ Уточнить смысл результата и его связь с другими результатами.
При обучении профессиональных математиков доказательства могут иметь и другие функции:
∙ Отработать общие приемы математических рассуждений (индукция, редукция, разбиение на случаи, общее положение, специализация, …) и стандартную технику в какой-либо конкретной области.
∙ Выработать привычку и вкус к точным рассуждениям как таковым, а также тренировать привычку сразу отличать предположения, свидетельства и догадки от твердо установленных фактов.
∙ Как говорят в Кембридже, to illustrate some of the tedium."
И много примеров как компьютерную алгебру можно применять.
UPD: А тут — позитивные предложения. и тут
Статья Farey fractions and sums over coprime pairs объясняет наши формулы для числа пи. Наши площади для функции F — это коэффициенты разложения преобразования Лежандра по базису Шаудера. У нас SL(2,Z), у японца — дроби Фарея. А так то же самое.
Для японца это побочный продукт изучения (нигде не гладкой, но непрерывной) функции Такаги, для нас — побочный продукт тропической геометрии в песочных моделях. Математика едина.
Вот у японца есть формула для гаммы, её я пока не умею получать тропическим способом)
Для японца это побочный продукт изучения (нигде не гладкой, но непрерывной) функции Такаги, для нас — побочный продукт тропической геометрии в песочных моделях. Математика едина.
Вот у японца есть формула для гаммы, её я пока не умею получать тропическим способом)
Книга Saint Petersburg mathematicians and their discoveries закончена. Правим последние опечатки, картинки, скоро напечатаем. В Питере, однако. Формат 165*235 (B5), обложка твёрдая. Черно-белая, поэтому иллюстрации выглядят не так классно. Впрочем, смотрите сами.
На английском. (На русском книгу, возможно, МЦНМО доделают к осени).
Цветная версия на обоих языках будет бесплатно доступна в интернете.
Книгу на русском (если доделают) можно будет купить в магазине МЦНМО в Москве уж точно. Может, ещё где-то. Книгу на английском купить нигде нельзя будет. Самиздат. Редкое. Первое и последнее издание.
Но! можем напечатать чуть больше экземпляров (сейчас печатаем только авторам и друзьям), а вы потом зайдёте, например, в ПОМИ в Питере, или может быть специальный человек из ПОМИ пошлёт по почте. Стоить примерно 700-800руб это будет + пересылка. Я бы на пересылку не сильно надеялся, впрочем, я пока не понимаю, кто бы хотел это делать. Ну и по России почта в целом работает, а пересылка в заграницы и дорогая, и непонятно как работает. В общем, лучше лично забирать.
__________________
Итого, кому нужна бумажная версия книги на английском (та, что выше по ссылке) — пишите на mathspbthm@gmail.com
В письме опишите, сколько вам надо экземпляров, и сможете ли вы их забрать в Питере в ПОМИ, или куда требуется пересылка (и сразу сами узнайте, сколько стоит пересылка). Начнём печатать через пару недель. Сейчас надо понять, сколько экземпляров. Как напечатаем, всем подписавшимся напишем, что можно забирать.
Кроме того, ищите ошибки и опечатки в электронной версии, пока не ушло в печать!
Как известно из отчёта Чебышёва о поездке в Париж в 1842, он там беседовал с Лебегом... Стоп, Лебег родился в 1875. После некоторого количества мучений нашёлся Victor-Amédée Lebesgue.
И такие ошибки (а тут даже не ошибка на самом деле, но то, что без поисков очень похоже на ошибку) на каждой странице можно найти. Редакторская работа как она есть, и не имеет она конца.
И такие ошибки (а тут даже не ошибка на самом деле, но то, что без поисков очень похоже на ошибку) на каждой странице можно найти. Редакторская работа как она есть, и не имеет она конца.